1.1.3. Фильтры типа «m»

Фильтры, в которых произведение продольного сопротивления на поперечное зависит от частоты, называют фильтрами типа «m» илиm-фильтрами.

В m-фильтрах нагрузка может быть несогласованной (в них характеристическое сопротивление меньше зависит от частоты, чем вk-фильтрах). Фильтры типа «m» позволяют добиться увеличения крутизны частотных характеристик в области граничных частот, однако имеют более сложную конструкцию.

Они синтезируются из двух видов производных Г-образных звеньев типа «m».

1. Последовательно-производноезвено типа «m». Оно синтезируется из Г-образного звена типа «k» так, чтобы в продольной ветви былоmчастей сопротивленияа сопротивление в поперечной ветви выбирается из условия равенства характеристических сопротивлений синтезируемого звена типа «m» и исходного Г-образного звена типа «k» со стороны Т-входа, т. е.(рис. 1.7).

2. Параллельно-производноезвено типа «m». В этом звене в поперечной ветви беретсяm-я часть сопротивленияа сопротивление продольной ветви вычисляется из условия равенства характеристических сопротивлений со стороны П-входа, т. е.(рис. 1.7).

Варианты схем фильтров, а также соответствующие расчетные формулы для их элементов с учетом согласования на выходе с сопротивлением нагрузки приведены в табл. 1.1. Здесь – сопротивление нагрузки;– частота среза для ФНЧ и ФВЧ;и– нижняя и верхняя граничные и резонансная частоты для ПФ и ЗФ.

Рис. 1.7. Синтез последовательно-производного звена типа «m»

Рис. 1.8. Синтез параллельно-производного звена типа «m»

Таблица 1.1

Схемы фильтров и расчетные формулы

Продолжение табл. 1.1

1.2. Анализ электрических фильтров в частотной области

Любая электрическая цепь, содержащая динамические элементы (емкость, индуктивность и др.), имеет определенные частотные свойства. Они могут быть описаны с помощью различных частотных характеристик:

1) передаточных функций;

2) частотных передаточных функций;

3) комплексных коэффициентов передачи;

4) амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ).

Пусть задана электрическая цепь в обобщенной форме (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Электрическая цепь в обобщенном виде

На вход цепи поступает входной сигнал на выходе получаем выходной сигнал

Передаточной функцией электрической цепиназывается отношение изображения по Лапласу от выходного сигналак изображению по Лапласу от входного сигналапри нулевых левых начальных условиях:

(1.2)

где –комплексный параметр преобразования Лапласа.

Для физически реализуемых цепей функцию можно записать в развернутом виде:

(1.3)

Подставляя в (1.2) или (1.3) вместо параметра только его мнимую часть получимчастотную передаточную функциюэлектрической цепи

Для получения частотной передаточной функции по напряжению электрического фильтра необходимо, используя законы Ома и Кирхгофа в символической форме, найти отношение выходного напряжения ко входному При этом необходимо и числитель, и знаменатель полученного отношения выразить через значение входного тока которое в итоге, при правильно выполненных расчетах, должно сократиться.

Пример 1.1.Необходимо получить частотную передаточную функцию по напряжению Г-образного ЗФ типа «k» с Т-образным входом (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Г-образный ЗФ типа «k» с Т-образным входом

Выполним следующие действия:

где

При каждом фиксированном значении угловой частоты функцияпредставляет собой комплексное число, которое может быть записано в алгебраической

(1.4)

или показательной

(1.5)

форме записи.

Функция

(1.6)

называется амплитудно-частотной характеристикой.

Функция

(1.7)

являющаяся аргументом комплекснозначной функции называетсяфазо-частотной характеристикой.

Формула (1.7) справедлива только для фазовых сдвигов, не превышающих Для расширения диапазона однозначно вычисляемых фазовых сдвигов доиспользуется следующая формула:

(1.8)

Для однозначно определяемых фазовых углов, превышающих при вычислении значений функциинеобходимо использовать дополнительные меры.

Анализ электрических фильтров в частотной области, сопровождающийся построением графиков АЧХ и ФЧХ, позволяет ответить на основной вопрос: удовлетворяет ли спроектированный фильтр заданным частотным свойствам или нет?

Отдельные значения АЧХ и ФЧХ также могут быть использованы для нахождения установившейся реакции фильтра на гармоническое воздействие.

Пример 1.2.Необходимо вычислить и построить графики АЧХ и ФЧХ по частотной передаточной функции по напряжению следующего вида:

где

Задание выполним в среде Maple 6; далее приведен текст программы с соответствующими комментариями.

Очистка внутренней памяти

> restart:

Задание выражения частотной передаточной функции по напряжению

> Ku:=(b4*(I*omega)^4+b2*(I*omega)^2+b0)/

(a4*(I*omega)^4+a3*(I*omega)^3+

a2*(I*omega)^2+a1*(I*omega)+a0):

Задание коэффициентов частотной передаточной функции по напряжению

> b4:=6.16e-8: b2:=6.079e-3: b0:=150:

a4:=6.16e-8: a3:=9.675e-6: a2:=7.599e-3: a1:=0.477:

a0:=150:

Преобразование выражения частотной передаточной функции по напряжению к алгебраической форме записи комплексного числа

> Ku_c:=evalc(Ku):

Действительная часть

> P:=coeff(Ku_c,I,0):

Мнимая часть

> Q:=coeff(Ku_c,I,1):

АЧХ

> Achh:=sqrt(P^2+Q^2):

Построение графика АЧХ

> plot(Achh,omega=0..1000);

> P:=unapply(P,omega): Q:=unapply(Q,omega):

Задание процедуры для вычисления значений ФЧХ

> Fchh:=proc(omega)

global P,Q,Res:

local F:

if P(omega)>0 then F:=arctan(Q(omega)/P(omega)) end if:

if P(omega)<0 and Q(omega)>=0 then

F:=evalf(arctan(Q(omega)/P(omega))+Pi) end if:

if P(omega)<0 and Q(omega)<0 then

F:=evalf(arctan(Q(omega)/P(omega))-Pi) end if:

if P(omega)=0 and Q(omega)>0 then

F:=evalf(Pi/2) end if:

if P(omega)=0 and Q(omega)<0 then

F:=evalf(-Pi/2) end if:

if F>0 then F:=evalf(F-2*Pi) end if:

Res:=F:

end proc:

Вычисление значений ФЧХ

> h:=1: N:=1000:

omega:=array(1..N):

Fh:=array(1..N):

for i from 1 to N do

omega[i]:=h*i:

Fh[i]:=Fchh(omega[i]):

end:

Построение графика ФЧХ

> Fhs:=[seq([omega[i],Fh[i]],i=1..N)]:

> PLOT(CURVES(Fhs,THICKNESS(1),LINESTYLE(1),

COLOR(RGB,1.0,0.0,0.0)),AXESSTYLE(BOX));