2 Непрерывные случайные величины
2.1 Теоретическое введение
Случайная величина Х имеет непрерывное распределение, если она может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Строгое определение непрерывной случайной величины следующее: случайная величина называется непрерывной, если математическое ожидание любой функции g(X) можно записать в виде:
(2.1) |
Под “любой” функцией g(х) имеется ввиду такая, для которой интеграл (2.1) существует и сходится абсолютно. Функция φ(x) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х и обладает следующими свойствами: 1. Вероятность попадания величины X в произвольный интервал на оси 0x равна
(2.2) |
т.е. интегралу по А от функции плотности. Таким образом, функция плотности φ(x) полностью характеризует распределение случайной величины Х. 2. В частности, для интервала (x1, x2), получаем:
(2.3) |
3. Так как вероятность неотрицательна, то из (2.2) следует, что φ(x) ≥ 0 для любого x. 4. Вероятность достоверного события равна 1, поэтому
(2.4) |
Последнее равенство называется условием нормировки функции плотности. График функции плотности распределения φ(x) называется кривой распределения (рис. 1).
Рис. 1. График плотности распределения φ(x) (кривая распределения)
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (x1, x2) численно равна площади соответствующей криволинейной трапеции. Из условия нормировки следует, что площадь области, ограниченной сверху кривой распределения, а снизу – осью 0х, равна 1. Функцией распределения случайной величины Х является функция F(x), равная вероятности события (Х < x), т.е. вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее значения аргумента х. Для непрерывной случайной величины функция распределения равна
(2.5) |
и обладает следующими свойствами: 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 для всех x; 2. F(–∞) = 0, F(+∞) = 1; 3. F(x) – неубывающая функция на всей оси; 4. F(x) – непрерывная функция, в точках непрерывности φ(x) она имеет производную:
F' (x) = φ(x) |
(2.6) |
Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в произвольный интервал (x1, x2) можно вычислить с помощью функции распределения следующим образом:
P(X є (x1, x2)) = P(X < x2) – P(X < x1) = F(x2) – F(x1) |
(2.7) |
Поэтому функция распределения F(х) так же, как и функция плотности распределения φ(x), полностью характеризует распределение вероятностей случайной величины Х и даже более удобна для расчетов вероятностей, так как не требует интегрирования. В задачах статистики часто бывает нужно найти такое значение х по заданной вероятности Ρ, что
Ρ = P(X < x) = F(x) |
(2.8) |
Данное уравнение может иметь, вообще говоря, множество решений. Но для большинства распределений, встречающихся в статистике, функция плотности распределения φ(x) строго положительна для всех Х из некоторого интервала и равна нулю вне этого интервала. Поэтому внутри этого интервала функция F(x) строго монотонно возрастает. В этих случаях решение уравнения (2.8) существует и единственно для всех Ρ є (0; 1). Оно называется квантилью распределения и обозначается хΡ (рис. 2).
Рис. 2. График функции распределения, квантиль и медиана случайной величины Х
Некоторые квантили имеют специальное название. Так, медианой непрерывной случайной величины Х называется действительное число mX , удовлетворяющее условию:
P(X < mX ) = P(X > mX ) = 0,5, |
(2.9) |
т. е. решение уравнения F(x) = 0,5. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Х находят по формулам, которые следуют из выражения (2.1):
(2.10) |
Дисперсию проще рассчитывать по следующей формуле:
(2.11) |