внешних сил, обусловленных строением конкретногокристалла. Врезультатеванизотропныхкристаллах величинаизнакэффективноймассызависятотнаправлениядвижения электрона.

Всостояниитермодинамического равновесия электронызанимают самыенизкиеэнергетические состояниявблизидназоныпроводимости, поэтомуиспользованиепостояннойэффективноймассывполнеоправданно. Вовнешнем электрическом полеэлектроны увеличиваютсвоюэнергию имогутуйтисодназоны. Оценимвеличину энергииδЕ, приобретаемой электрономотполянадлинесвободного пробега. Длятипичнойдлины

свободного пробегаl = 100 Å и E =103 В/см величина δЕ= eEl составляет

~10–3 эВ. Следовательно, электронпрактическиостаетсянаднезоны. Всеполученныевыводысправедливыидля поведенияэлектронов вблизипотолкавалентнойзоны. Однаковэтомслучаеболее удобным является описание коллективного поведения электроновнеполностьюзаполненнойвалентнойзоныспомощьювведения квазичастиц, называемых

дырками.

2.9. Понятие дырки

Рассмотримполностьюзаполненнуювалентнуюзонуполупроводника, содержащую M электронов. Какговорилосьранее, электроныполностьюзаполненнойзонынемогутучаствоватьвэлектропроводности, ток,

создаваемыйими, равеннулю:

M

I = ∑I j = 0,

j =1

где I j - ток, создаваемый j-мэлектроном.

Пустьподдействием термическойионизацииодинэлектронперешел извалентнойзонывзонупроводимости(рис.2.13,а). Ток, создаваемый

оставшимисяM – 1 электронами, равен

Такимобразом, ток, создаваемыйэлектронамиполностьюзаполненныйзоны, изкоторойудаленодинэлектрон, равенповеличинеипротивоположенпонаправлениютоку, создаваемомуоднимудаленным электро-

43

a)б)

Рис.2.13. Ток, создаваемый электронами полностью заполненной валентной зоны, из которой удален один электрон

ном. Ноточнотакойжетоксоздаетчастицасположительнымзарядом и положительнойэффективноймассой, помещенная нанезанятоеместо удаленного электрона(рис.2.13,б). Такая частица, точнееквазичастица, называется дыркой. Если удаленныйэлектронобладалзарядом е, эффективной

массой mn* , квазиимпульсом hк , скоростью v испином σ, тодыркенеобходимо приписатьследующиесвойства:

ep = – e, m*p = − mn* , hкp = −hк , vp = −v , σp = −σ .

Всостояниитермодинамического равновесия электроныстремятся занятьсамыенизкиеэнергетические состояния. Еслинезанятоесостояние находитсявглубиневалентнойзоны, тоэлектронысболеевысоких уровнейстремятсязанятьэтосостояние. Врезультатенезаполненноесостояние - дыркаподнимается кпотолкувалентнойзоныподобнопузырькувоздухавводе. Этоозначает, чтонаправленияотсчетаэнергиидырокиэлектро-

новпротивоположныдругдругу:

E p = − E .

Наименьшей энергией обладают дырки вблизи потолка валентной зоны. Для них справедливо введенное ранее представление об эффективной массе, а их движение можно описать уравнениями,

подобными уравнениям (2.13) - (2.15) для электрона.

44

Таким образом, с точки зрения зонной теории дырочная про-

водимость полупроводника обусловлена электронами почти заполненной валентной зоны, а концентрация дырок р определяется числом свободных состояний в этой зоне.

В то же время с точки зрения статистики дырку можно определить как незанятое электроном состояние на энергетическом уровне Е, поскольку дырка помещается на место удаленного электрона. Поэтому вероятность заполнения энергетического уровня Е дыркой f p (E) будет равна вероятности отсутствия на этом уровне

электрона:

где f (E) - функция распределения Ферми - Дирака.

Подобно электронам зоны проводимости, образующим электронный газ, дырки валентной зоны образуют дырочный газ, который может быть вырожденным или невырожденным. При этом полный ток в полупроводнике складывается из токов, создаваемых электронами зоны проводимости и дырками валентной зоны.

2.10. Зонная структура германия, кремния и арсенида галлия

Расчетструктурэнергетических зонполупроводниковявляется сложнойзадачейипроизводится различнымиприближеннымиметодамилишь длянекоторых точексимметриив первойзонеБриллюэна. Ктакимточкам относятсяцентрзоныБриллюэна, центрыграней, серединыребер ит.д. Значенияэнергий дляостальныхточекнаходятся путеминтерполяции. Полученныеизрасчетаданные уточняютсяспомощьюэксперимента.

Германийикремний имеютструктуруалмаза, арсенид галлияструктуруцинковойобманки. Прямаярешеткаэтих полупроводниковгранецентрированная кубическаярешеткаБравесбазисом издвухатомов, обратнаярешетка, длякоторойстроится1-язонаБриллюэна, - объемно-

центрированная кубическая(рис.2.14).

ГерманийикремнийотносятсякIV группеэлементовПериодической таблицыД.И.Менделеева. Ониобладаютсходнымиэлектроннымиоболоч-

45

кz

0

кy

кx

Рис.2.14. 1-я зона Бриллюэна для гранецентрированной решетки

камииимеютпочетыревалентныхэлектрона: Si :1s2 2s2 2 p6 3s2 3p2 ,

Ge:1s22s22p63s23p63d104s24p2 .

Сучетомтого, чтоэлементарнаяячейкаGe иSi содержитдваатома, накаждую изнихприходитсявосемьвалентных электронов. Приобразованиикристаллаврезультате расщепления энергетических уровнейобразуютсязона проводимостиивалентнаязона, каждая изкоторыхсостоитиз четырехчастично перекрывающихся подзон. Каждая изподзонсодержит 2N состояний, где N - число элементарных ячееквкристалле. ПриT = 0 8N электроновполностьюзаполняютвалентнуюзону, оставляя 8N состоя-

нийзоныпроводимостисвободными.

В соответствии со сказанным выше закон дисперсии как для зоны проводимости, так и для валентной зоны содержит четыре ветви. Графически изобразить их на плоскости можно только для определенных направлений. При этом наибольший интерес представляют те из них, на которых функции E(к)достигают абсолютного минимума в зоне

проводимости (дно зоны Ес) и абсолютного максимума в валентной зоне (потолок зоны Еv). При этом экстремумы в зоне проводимости и валентной зоне могут находиться в разных точках зоны Бриллюэна. Расстояние между Ec и Ev определяет ширину запрещенной зоны полупроводника Eg.

Нарис.2.15 представленызонныеструктурыGe, Si иGaAs для на-

46

47

ВGe абсолютныйминимумэнергиирасположеннанаправлении[111]

иприходитсянепосредственно награницу1-йзоныБриллюэна. Семейству направлений<111>, такимобразом, соответствуетвосемьэквивалентных

минимумовэнергии. Электронызоныпроводимостиравномернораспределяютсямеждувсемиэтимиминимумамиэнергии.

Изоэнергетические поверхности, построенныевблизиточекминимумаэнергии, представляют собойэллипсоиды вращения(рис.2.16,а). Посколькуминимумырасполагаются точнона границезоныБриллюэна, внутризонысодержатся только половиныэллипсоидов. Поэтомучисло полныхэллипсоидовMс, относящихся к1-йзонеБриллюэна, будетравно

четырем.

Рис.2.16. Изоэнергетические поверхности вблизи дна зоны прово-

Длиныполуосейэллипсоидовзависятоткомпоненттензораэффективноймассыидляэллипсоидавращенияопределяются продольной ml* и

поперечной mt* эффективнымимассами. ДляGe ml* = 1,64m, mt* = 0,082m.

ВSi абсолютныйминимумэнергиирасположеннанаправлении[100]. Семействунаправлений<100> соответствуют, такимобразом, шестьэквивалентных минимумовэнергии. Всеонирасположенывнутри1-йзоны Бриллюэна, поэтомучислополныхэллипсоидовэнергииMc, содержащихся в1-йзонеБриллюэна, равношести(см. рис.2.16,б). Эллипсоидытакжеха-

рактеризуются продольнойипоперечнойэффективнымимассами:

48

1,12 эВ, дляарсенидагаллия- 1,42 эВ.

50