2.7. Эффективная масса

Уравнение Шредингера для электрона в кристалле (2.1):

−h2 2Ψ +U (r )Ψ = EΨ

2m

отличается от уравнения Шредингера для свободного электрона

(1.3):

−h2 2Ψ = EΨ

2m

наличием периодического потенциала решетки U (r ).

Предположим, что вместо уравнения (2.1) можно записать эквивалентное ему уравнение:

в котором отсутствует периодический потенциал решетки, а его влияние учитывается путем введения некоторой неизвестной вели-

чины mn* , имеющей размерность массы.

Закон дисперсии, получаемый из решения уравнения (2.7), имеет вид, аналогичный закону дисперсии для свободного электрона (1.5):

т.е. энергия квадратично зависит от вектора к.

В то же время, как было рассмотрено выше, зависимость E(к),

получаемая из решения уравнения (2.1), является некоторой периодической функцией вектора к. Таким образом, уравнение (2.1) мож-

но представить в виде (2.7) только для тех областей спектра электрона, где его энергия квадратично зависит от квазиволнового вектора к. Рассмотрим на примере одномерного кристалла, когда это

36

имеет место.

Закон дисперсии для электрона в одномерном кристалле представляет собой периодическую функцию, имеющую экстремумы вблизи потолка и дна разрешенной зоны. В силу симметрии зоны Бриллюэна в центре ее всегда имеется экстремум энергии. Разложим функцию E(к) в ряд Тейлора вблизи точки к = 0 и ограничим-

ся квадратичным членом разложения:

Величина mn* называется эффективной массой электрона.

Таким образом, уравнение (2.7) оказывается справедливым для электронов, находящихся вблизи экстремумов энергии, т.е. вблизи дна и потолка разрешенной зоны. Движение таких электронов в кристалле можно рассматривать как движение свободных

электронов, если приписать электрону массу mn* , отличную от мас-

сы свободного электрона m.

Рассмотрим трехмерный случай, полагая при этом, что экстремум энергии находится в некоторой точке к0 зоны Бриллюэна.

Разлагая функцию E(к) в ряд и ограничиваясь квадратичными

членами разложения, получаем

37

(2.11)

=E(к0 )+ ∑h2 (кα − к0α*)(кβ − к0β),

α,β 2mαβ

где α, β независимо могут принимать значения x, y, z, а выраже-

ние

определяет тензор обратной эффективной массы. Поскольку ве-

личина второй производной не зависит от порядка дифференцирования, тензор симметричен: mαβ = mβα. Симметричный тензор в

главных осях приводится к диагональному виду, при котором все члены, не стоящие на главной диагонали, обращаются в нуль:

Таким образом, и в общем случае вблизи точки экстремума энергия квадратично зависит от квазиволнового вектора, и электрону можно приписать эффективную массу. Однако в отличие от одномерного в общем случае эффективная масса зависит от на-

38

правления движения электрона и характеризуется тремя компонентами тензора эффективной массы: m1*, m2*, m3*. Используя диаго-

нальный вид тензора обратной эффективной массы, разложение (2.11) можно записать в виде

Для E(к)= const это есть уравнение изоэнергетической поверх-

ности, которая представляет собой эллипсоид, полуоси которого определяются компонентами тензора эффективной массы.

Для многих кристаллов, например, для германия и кремния, m1* = m2* = mt* , m3* = ml* , и изоэнергетическая поверхность представляет собой эллипсоид вращения вокруг оси кz :

продольной эффективными массами.

2.8. Динамика электрона в кристалле

При описании движения электрона в кристалле удобно пользоваться квазиклассической моделью, суть которой состоит в сле-

дующем.

Из квантовой механики известно, что движение свободного электрона с волновым вектором к можно описать с помощью вол-

нового пакета, представляющего собой суперпозицию плоских волн (1.4) с близкими значениями волновых векторов в интервале ∆к .

При этом интервал изменения волновых векторов должен быть значительно меньше величины самих этих векторов: ∆к << к .

Движение электрона в кристалле равным образом можно описать с помощью волнового пакета, составленного из волновых функций

(2.2).

39

Оценим, какие размеры должен иметь волновой пакет, чтобы его ширина ∆к была мала по сравнению с размерами 1-й зоны Брил-

люэна, которая определяет разрешенные значения к. Полагая этот размер равным 2aπ и пользуясь соотношением неопределенности

∆r ∆к ~ 1, получаем

∆r ~ ∆1к >> a.

Таким образом, волновой пакет оказывается "размазан" по большому числу элементарных ячеек кристалла. Это значит, что квазиклассическое приближение не позволяет задавать положение электрона с точностью порядка ширины пакета.

Другое ограничение квазиклассической модели связано с тем, что она описывает реакцию электронов на внешнее электрическое поле, которое должно медленно меняться на длине волнового пакета и, следовательно, должно оставаться практически постоянным на расстояниях порядка размера элементарной ячейки кристалла.

При выполнении указанных условий поведение электрона в кристалле можно описывать классическими уравнениями движения, которые задают изменение во времени координаты и квазиимпульса электрона. При этом средняя скорость движения электрона v в кристалле равна групповой скорости волнового пакета:

а изменение квазиимпульса p происходит под действием внеш-

ней силы F :

жущегося в идеальном периодическом поле кристалла, есть вели-

чина постоянная. Следовательно, в идеальном кристалле электроны движутся без рассеяния, длина их свободного пробега равна беско-

нечности. Направленное движение заряженных частиц создает ток,

40

который протекает в отсутствие внешнего поля, т.е. сопротивление идеального кристалла равно нулю.

Сопротивлениереальных кристалловотличноотнуля, следовательно, какой-томеханизм рассеяния электроновсуществует. Однако такоерассеяниенеможетбытьобусловлено столкновениямисионамирешетки, посколькувзаимодействиеэлектронаснеподвижнымиионами учтено в

исходномуравненииШредингера(2.1).

Конечноесопротивление кристалловопределяется ихнеидеальностью. Всякиенарушения периодическойструктурыкристалла, обусловленныедефектамирешетки итепловымиколебаниямиатомов, приводяткизменению квазиимпульса электронаипереходуеговновые квантовые состояния. Механизмырассеяния электроновнадефектахрешеткибудут

рассмотреныпозднее.

Изуравнений(2.13) и(2.14) следует, что

Втораяпроизводная энергиипоквазиимпульсувэтомвыраженииформальносовпадаетсопределением тензораобратнойэффективноймассы (2.12). Однаковданном случаевыражение(2.15) справедливо дляпроизвольнойточкизоныБриллюэна, анетолько дляточкиэкстремума. Поэтомувтораяпроизводнаяввыражении(2.15) неявляется постояннойвеличиной. Онаопределяеттакназываемуюобобщеннуюэффективную массу и

зависитотквазиимпульсаэлектрона.

Однако еслирассматриватьдвижениеэлектронавблизиточекэкстремума, т.е. вблизиднаипотолказоны, томожно пользоватьсявведенным ранеепонятием эффективноймассы. Особенно простойвидприобретают законыдвиженияэлектронавслучае, когдаэффективнаямассаскаляр:

m1* = m2* = m3* = mn*. Вэтомслучаезакондисперсии задается ввиде

41

Такимобразом, электрон, которомуприписанаэффективная масса, можнорассматриватькаксвободный, иприописанииегодвижения пользоватьсяклассическоймеханикойбез учетапериодического потенциала

кристалла.

Втожевремянужновсевремя помнить, чтоэффективнаямассане является настоящеймассойэлектрона. Действительно, согласноопределениюэффективноймассы(2.10) еевеличиназависитоткривизныфункции E(к) вточкеэкстремумаиможетбытькакбольше, такименьшемассы

свободногоэлектрона. Онаможетбытьположительный, иотрицательной величинойвзависимостиотзнакавторойпроизводной. Вточкеминимума (удназоны) эффективная массаположительна, авточкемаксимума (упо-

толказоны) - отрицательна. Если mn* < 0 , тоизуравнений(2.16) и(2.17) следует, что

p = − m* v ,

F = − m* a ,

т.е. квазиимпульс электронанаправленпротивоположно егоскорости, и электронускоряется противвнешнейсилы.

Когдаэлектрон находится вблизиточкиэкстремума, ноегоэффективнаямассаявляетсятензором, ситуациясущественно усложняется. В этомслучаевнешняясила, действующая наэлектрон, иегоускорениемогут несовпадатьпо направлению. Могутбытьтакже неколлинеарнывекторыскоростииквазиимпульсаэлектрона. Всильноанизотропных кристаллах возможнаситуация, прикоторойтензорэффективноймассыимеет положительные компонентыдляоднихнаправленийиотрицательныедля

других.

Дляобъяснения необычногоповедения электрона, которомуприписанаэффективная масса, необходимо принятьвовнимание, чтонаэлектрон, кромевнешней силы, действуеттакжесила, обусловленная периодическим потенциалом решеткикристалла. Настоящая массаэлектронаявляетсякоэффициентом пропорциональностимеждуполнойсилой, действующейна электрон, иегоускорением. Внутренниесилы никакого ускоренияэлектронунесообщают, ускорениеопределяетсятолько внешнейсилой. Однаковеличина изнакэтогоускорениязависятотсоотношения внутренних и

42