где nx, ny, nz - целые числа.

Таким образом, волновой вектор к электрона в кристалле

дискретен, а его возможные значения определяются теми же точками к -пространства, что и в модели Зоммерфельда. Как и ранее, вели-

чины (кх, ку, кz, ms) или (nx, ny, nz, ms) образуют четверку квантовых чисел, т.е. определяют возможные квантовые состояния электрона

в кристалле.

2.3. Зоны Бриллюэна

Хотя вектор к имеет смысл волнового вектора, он отличается от волнового вектора свободного электрона тем, что в кристалле вектор к определяется неоднозначно. Можно показать, что если

т.е. векторы к и к + g описывают одинаковые квантовые со-

стояния электрона. Поэтому вектор к правильнее называть квази-

волновым вектором, а величину p = hк - квазиимпульсом.

Поскольку векторы к и к + g описывают одинаковые кван-

товые состояния, то и энергия в этих состояниях одна и та же:

E(к)= E(к + g ).

Другими словами, энергия электрона является периодической функцией в пространстве обратной решетки.

В силу периодичности E(к) для определения спектра энергии

электрона в кристалле, т.е. разрешенных значений энергии Е, нет необходимости рассматривать все к -пространство, достаточно ограничиться одним периодом функцииE(к), т.е. одной элементарной

22

ячейкой обратной решетки.

Разумно выбрать элементарную ячейку так, чтобы величины всех физически различных значений к были минимальными. Оче-

видно, что лучше всего этому удовлетворяет ячейка Вигнера - Зейтца.

Элементарная ячейка Вигнера - Зейтца обратной решетки, построенная около начала координат, называется 1-й зоной Бриллюэна.

Для одномерной решетки с параметром а обратная решетка одномерна и строится на векторах b = 2aπ (рис.2.3). Число физиче-

ски различных значений к в 1-й зоне Бриллюэна, а вместе с ними и число разрешенных уровней энергии электрона в кристалле можно найти, разделив объем зоны Бриллюэна на объем, приходящийся на один волновой вектор к , равный

∆Vк = 2π 2π 2π = 8π3 .

L L L V

Для простой кубической решетки объем 1-й зоны Бриллюэна равен

где a3 =Vэл.пр - объем элементарной ячейки прямой решетки.

Число разрешенных уровней энергии, таким образом, равно

23

∆к = 2π/L

1-я зона Бриллюэна

VVэл.пр = N - числу атомов в кристалле. В то же время число раз-

решенных состояний с учетом спина в два раза больше - 2N. Полученный вывод сделан для простой кубической решетки.

Можно показать, что он остается справедливым и для других решеток.

2.4. Образование энергетических зон

Энергетический спектр электрона в кристалле определяется законом дисперсии E(к). В силу однозначности функции E(к) в

пределах ее периода число разрешенных значений энергии будет равно N - числу физически различных значений квазиволнового вектора в 1-й зоне Бриллюэна. Интервал энергий, в пределах которого изменяется значение E(к), называется энергетической зоной.

Максимальное значение Emax в зоне называется потолком зоны, а минимальное значение Еmin - дном зоны.

Поскольку число атомов в кристалле велико и составляет величину ~1022 - 1023 см–3, расстояние между энергетическими уров-

24

нями в зоне мало. Спектр энергии электронов внутри зоны можно считать квазинепрерывным.

Проведенный анализ не раскрывает физического механизма образования зон. Для его понимания обсудим качественную картину, возникающую при образовании кристалла из изолированных атомов.

Рассмотрим гипотетический кристалл, состоящий из N атомов, расстояние между которыми во много порядков раз превышает параметр решетки а реального кристалла, - "растянутый" кристалл (рис.2.4,а). Атомы такого кристалла можно считать изолированными друг от друга. Внутри каждого из них потенциальная энергия электрона в поле положительного иона с зарядом Ze определяется как

где ε0 - электрическая постоянная.

Системы атомных дискретных уровней энергии всех атомов тождественны. При этом состояние электрона в каждом атоме определяется набором четырех квантовых чисел: n, l, ml, ms, где n - главное квантовое число; l - орбитальное квантовое число; ml - магнитное квантовое число; ms - спиновое квантовое число. Согласно принципу Паули внутри атома в одном и том же квантовом состоянии не может находиться более одногоэлектрона.

Начнем сближать атомы до расстояния, определяемого параметром решетки а. Силовые поля отдельных атомов начинают перекрываться, в результате чего образуется периодический потенциал решетки U (r ) (рис.2.4,б).

Перекрываются также и волновые функции электронов, локализованных на дискретных энергетических уровнях соседних атомов.

Рассмотрим какой-нибудь уровень энергии Ea (рис.2.4,б). Электрон, находящийся на этом уровне в каком-либо атоме, отделен от соседнего атома потенциальным барьером. Ширина барьера со-

25

ставляет величину порядка 1Ǻ, поэтому вследствие перекрытия волновых функций велика вероятность квантово-механического туннелирования электрона через этот барьер и перехода его к соседнему атому. В результате электрон уже не связан с определенным атомом решетки, а получает возможность перемещаться по всему кристаллу, т.е. электроны коллективизируются.

Другим следствием перекрытия волновых функций электронов является расщепление энергетического уровня Ea на N энергетических уровней, образующих энергетическую зону. Для электронов внутри зоны выполняется принцип Паули, и состояние каждого электрона описывается своим набором квантовых чисел: кx, кy, кz,

ms.

Рассмотренная качественная картина образования энергетических зон лежит в основе приближенного решения уравнения Шре-

26

дингера (2.1) методом сильносвязанных электронов.

27