энергия квантового электронного газа при Т = 0 не только не равна нулю, но и составляет значительную величину, равную 3/5 EF(0) ≈ 3 - 6 эВ. Средняя скорость электронов квантового газа при Т = 0 также отлична от нуля и достигает весьма большой величины (~ 108 см/с).

При нагревании металла не все электроны способны увеличить свою энергию. В силу принципа Паули это могут сделать только те электроны, которые переходят на свободные уровни, расположенные выше уровня Ферми. Эти электроны находятся в слое толщиной порядка тепловой энергии kT ниже уровня Ферми. Доля таких электронов при Т = 300 К составляет примерно kT/EF ≈ 5 10–3, поэтому вкладом электронов в теплоемкость металла при комнатной температуре можно пренебречь. Это объясняет, почему закон Дюлонга - Пти справедлив как для диэлектриков, так и для металлов.

2. Элементы зонной теории твердых тел

Экспериментальное исследование электропроводности веществ показало, что ее величина изменяется в чрезвычайно больших пределах. Это позволяет условно разделить все твердые тела по величине σ на три большие группы: металлы, диэлектрики и

полупроводники. Металлы являются хорошими проводниками электричества, у них σ > 104 (Ом·см)–1. Диэлектрики - хорошие изо-

ляторы, у них σ < 10–10 (Ом·см)–1. К полупроводникам относятся вещества, у кото-

рых электропроводность лежит в пределах от 104 (Ом·см)–1 до

10–10 (Ом·см)–1.

Рассмотренная в предыдущей главе модель свободных электронов не позволяет объяснить, почему одни твердые тела являются металлами, а другие диэлектриками и полупроводниками. Согласно этой модели электронный газ в твердом теле возникает за счет отрыва валентных электронов от атомов. С этой точки зрения можно было бы предположить, что металлами будут являться те элементы, у которых мала энергия ионизации атомов. Однако опыт показывает, что это не так. Энергия ионизации у полупроводников германия (7,9 эВ) и кремния (8,1 эВ) оказывается меньше, чем у отличных проводников металлов золота (9,2 эВ) и платины (9,0 эВ).

В рамках этой модели невозможно также объяснить, почему электропроводность чистых полупроводников сильно увеличивается при

16

нагревании кристалла, а у металлов она слабо уменьшается; почему проводимость полупроводников, в отличие от металлов и диэлектриков, чрезвычайно сильно зависит от наличия примесей и внешних воздействий, например, освещения.

Ответы на все эти вопросы удалось найти только в рамках зонной теории твердого тела.

Ввиду ограниченного объема настоящего учебного пособия не представляется возможным подробно изложить зонную теорию. Рассматриваются лишь ее элементы, некоторые положения зонной теории приводятся без доказательства. Зонная теория была разработана для кристаллических твердых тел, поэтому для ее успешного усвоения читатель должен обладать определенным объемом знаний по кристаллографии.

2.1. Структура кристаллов и обратная решетка

В идеальном кристалле определенные структурные единицы (атомы, группы атомов, молекулы, ионы) периодически повторяются в пространстве. Положение каждой структурной единицы задается математической точкой, называемой узлом. Система периодически повторяющихся узлов образует пространственную решетку.

При анализе пространственных решеток кристаллов используется фундаментальное понятие решетки Браве. По определению

трехмерная решетка Браве является множеством точек, образован-

ных концами векторов l вида:

l = n1a1 + n2a2 + n3a3 ,

где a1, a2, a3 - три некомпланарных вектора; n1, n2, n3 - все возможные целые числа.

Любой из векторов l называется вектором трансляции решетки,

а векторы a1, a2 , a3 - основными векторами трансляции.

Смещение решетки в направлении вектора l на расстояние l при-

водит к ее самосовмещению. Это основное свойство любой пространственной решетки называется трансляционной симметрией. Однако кристаллы и их решетки могут обладать и другими элементами симметрии: осями симметрии, плоскостями симметрии, центром инверсии. В кристаллографии показывается, что всего существует 14 различных реше-

17

ток Браве, каждая из которых определяется своим набором элементов симметрии.

Пространственная решетка является математической абстракцией. В реальном кристалле около каждого узла расположена группа атомов, называемая базисом. Пространственная решетка вместе с базисом образуют кристаллическую структуру.

Разные кристаллы могут иметь одинаковые решетки. Так, кристаллы германия, кремния и арсенида галлия обладают гранецентрированной кубической решеткой Браве, в то время как германий и кремний имеют структуру алмаза, а арсенид галлия - структуру цинковой обманки.

Параллелепипед, построенный на основных векторах трансляции, называется элементарной ячейкой решетки. Элементарная ячейка любой решетки Браве является примитивной или простой, на нее прихо-

для заданной решетки оказывается единственной. Это так называемая

ячейка Вигнера - Зейтца.

Построим ее следующим образом (рис.2.1). Примем за центр ячейки какой-либо узел решетки. Выбранный узел соединим с ближайшими узлами прямыми линиями и через середины образовавшихся отрезков проведем перпендикулярные плоскости. Тело, образованное плоскостями вокруг центра ячейки, и является элементарной ячейкой Вигнера - Зейтца. Очевидно, что элементарная ячейка Вигнера - Зейтца простая, и ее трансляцией можно построить весь кристалл. При этом любая точка ячейки расположена ближе к ее центру, чем к любому другому узлу решетки. Объем ячейки Вигнера - Зейтца равен объему элементарной ячейки решетки Браве.

Найдем для основных векторов трансляции a1, a2, a3 такие

три вектора b1, b2, b3 , которые обладают следующим свойством:

18

скалярное произведение вектора ai на вектор bj (i, j =1, 2, 3) равно

1, i = j; aib j = 0, i ≠ j.

Таким свойством обладают векторы:

на, т.е. эти векторы заданы в так называемом обратном простран-

стве.

Решетка, построенная на векторах 2πb1 , 2πb2 , 2πb3 , называ-

ется обратной решеткой кристалла. Произвольный вектор трансля-

ции обратной решетки имеет вид

g = m12πb1 + m2 2πb2 + m3 2πb3 ,

где m1, m2, m3 - целые числа.

Для кубического кристалла a1 = a2 = a3 = a, и векторы a1, a2, a3

взаимно перпендикулярны. Поэтому для кубического кристалла обратная решетка является тоже кубической, причем b1 = b2 = b3 = 1a .

Можно показать, что для объемно-центрированной решетки обратной является гранецентрированная, для гранецентрированной - объемно-центрированная. В частности, объемноцентрированную обратную решетку имеют кристаллы германия, кремния и арсенида галлия.

Обратное пространство и обратная решетка не являются отвлеченными абстрактными понятиями, они имеют вполне реальное физическое содержание и играют фундаментальную роль при анализе волновых процессов в кристаллах. Дело в том, что волновые векторы любых волн (электронных, упругих, электромагнитных), распространяющихся в кристаллах, задаются в обратном пространстве. При этом каждому вектору обратной решетки соответствует волна с периодом, равным некоторому вектору трансляции прямой решетки.

19

альной кристаллической решетке.

Для решения уравнения (2.1) необходимо знать вид функции U (r ) и задать граничные условия. Однако некоторые важные вы-

воды можно сделать и без решения уравнения, а используя лишь свойство периодичности функции U (r ).

Легко проверить, что уравнению (2.1) удовлетворяет волновая функция

где ϕк (r )= ϕк (r + l ) - периодическая функция с периодом ре-

шетки кристалла.

Вектор к имеет смысл и размерность волнового вектора. Таким образом, Ψк (r ) есть плоская волна с периодически модулиро-

ванной амплитудой.

Физический смысл периодичности амплитуды ϕк (r ) заключа-

ется в том, что если электрон находится в идентичных точках различных ячеек, отличающихся на вектор трансляции, то эти точки физически неразличимы, и вероятность нахождения в них должна быть одинакова:

Ψк (r ) 2 = ϕк (r ) 2 = Ψк (r + l ) 2 = ϕк (r + l ) 2.

Используя периодические граничные условия Борна - Кармана (1.6) и учитывая, что ϕк (r ) - периодическая функция:

ϕк (r )= ϕк (r + L ),

где L - размер кристалла, получим

Ψ(x + L, y + L, z + L)= ϕк (r + L )eiкr eiкx Leiкy Leiкz L = Ψ(x, y, z)= ϕк (r )eiкr

,

откуда

eiкx L = eiкy L = eiкz L =1

и

21