кz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кx
g(E) |
|
|
Занятые |
E (0) Свободны |
|
состояния |
F |
состояния |
Рис.1.4. Сечение изоэнергетиче- |
|
|
Рис.1.5. Зависимость |
плотности |
||
ских поверхностей Е и Е + dE коор- |
кванто |
вых состояний от энергии |
||||
откуда |
|
2m 3 2 |
|
|
||
g(E)= |
1 |
E1 2 . |
(1.16) |
|||
|
|
|
|
|||
2π2 |
|
|||||
|
h2 |
|
|
|
||
Таким образом, плотность квантовых состояний возрастает с ростом энергии пропорционально E1/2 (рис.1.5).
1.6. Свойства квантового электронного газа
Зная плотность квантовых состояний g(Е) и функцию распределе-
ния f(Е), можно рассчитать многие важные характеристики электронного газа.
Поскольку число электронов в единице объема, которые занимают состояния в интервале энергий dЕ, определяется как
dn = f (E)g(E)dE ,
концентрацию электронов можно найти с помощью выражения
∞
n = ∫ f (E)g (E)dE.
0
14
При T = 0 это позволяет установить связь концентрации электронов с энергией Ферми. Поскольку при T = 0 все состояния выше уровня
Ферми свободны (см. рис.1.5), получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
EF |
(0) |
|
|
|
EF (0) |
|
|
|
|
|
|
|||
n = ∫ f (E)g(E)dE = ∫g(E)dE = |
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
2m |
3 2 EF (0) |
0 |
|
1 |
2m |
3 2 |
|
|||||
= |
1 |
|
∫ |
E1 2dE = |
E3 2 |
(0), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2π2 h2 |
|
|
|
3π2 |
h2 |
|
F |
|
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3π2n)2 3. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
EF (0)= |
h2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
Полагая n = 5 1022 см–3, получаем EF(0) ≈ 5 эВ.
Среднюю энергию электронов при Т = 0 можно определить из выражения
|
|
|
EF (0) |
|
EF (0) |
|
EF (0) |
|
|
|
< E(0)>= |
1 |
EF(0) |
∫Ef (E)g(E)dE |
|
∫Eg(E)dE |
|
∫E3 2dE |
|
3 |
EF (0) |
∫Edn= |
0 |
= |
0 |
= |
0 |
= |
||||
n |
EF (0) |
EF (0) |
EF (0) |
5 |
||||||
|
|
0 |
∫f (E)g(E)dE |
|
∫g(E)dE |
|
∫E1 2dE |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||
.
Средняя скорость электронов <vT> при Т = 0 связана со средней энергией соотношением
< E(0)> = |
m < vT |
(0)>2 |
3 |
EF (0), |
|
2 |
= |
5 |
|||
откуда |
|
|
|||
|
6EF (0) |
|
|||
< vT (0)> = |
. |
||||
5m |
|
||||
|
|
|
|
||
Полагая EF(0) = 5 эВ, получаем <vT(0)> ≈ 108 см/с.
Таким образом, квантовый электронный газ в металле сильно отличается от классического электронного газа. Спектр энергии электронов в конечном кристалле оказывается дискретным. При температуре абсолютного нуля энергия электронов классического газа стремится к нулю, они конденсируются на дно сосуда. Электроны квантового газа заполняют уровни энергии вплоть до уровня Ферми. Поэтому средняя
15