|
1.3. Распределение Ферми - Дирака |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотренное выше заполнение энергетических уровней электро- |
|
|
||||||||||||
нами полностью согласуется со сделанным ранее предположением о |
|
|
||||||||||||
том, что электронный газ в металле подчиняется статистике Ферми - |
|
|
||||||||||||
Дирака, а не Максвелла - Больцмана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция распределения Ферми - Дирака определяет вероятность |
|
|
||||||||||||
того, что квантовое состояние с энергией Е занято электроном: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f (E)= |
|
1 |
. |
|
|
|
(1.10) |
|
|
||||
|
|
E − EF |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
e |
kT |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПриТ= 0 функцияФермиДиракаможетприниматьтолькодвазначения |
|
|
||||||||||||
|
f (E)= 1, если E < EF, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0, если E > EF , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. представляет собой прямоугольную ступеньку (рис.1.2). Все |
|
|
||||||||||||
уровни, расположенные ниже уровня Ферми, заняты электронами, веро- |
|
|
||||||||||||
ятность их заполнения равна единице. Все уровни выше уровня Ферми |
|
|
||||||||||||
свободны, вероятность их заполнения равна нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При Т > 0 ступенька размывается (см. рис.1.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈1, если E |
F |
− E ≥ 3kT, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f (E)= |
, если E = EF , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
E − EF |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
= |
|
− |
|
≥ 3kT. |
|||
|
|
|
|
|
≈ e |
kT |
Ae |
kT , если E − E |
F |
|||||
f(E) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Т = 0 |
|
|
|
Здесь через А обозначено |
|
|
|||||||
|
|
|
eEF |
|
|
|||||||||
1/2 |
Т > 0 |
|
|
kT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь |
часть |
уровней |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
ниже уровня Ферми освобож- |
|
|
||||||||
EF EF+3kT |
|
дается, и появляется отличная |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
от нуля вероятность заполне- |
|
|
||||||||
Рис.1.2. Распределение Ферми - Ди- |
ния |
уровней |
выше |
уровня |
|
|
||||||||
Ферми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
рака. В |
заштрихованной области |
спра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
При рассмотрении функции Ферми - Дирака неявно предполагалось, что сама энергия Ферми не зависит от температуры. В металлах это предположение хорошо выполняется, в полупроводниках же уровень Ферми может сильно зависеть от температуры.
1.4. Вырожденный и невырожденный электронный газ
Выше было показано, что если энергия всех частиц электронного газа удовлетворяет условию E – EF ≥ 3kT, то функция распределения Ферми - Дирака может быть заменена функцией распределения Максвелла - Больцмана:
− E
f (E)= Ae kT . (1.11)
Классический электронный газ, подчиняющийся статистике Мак-
свелла - Больцмана, называется невырожденным электронным газом.
Квантовый электронный газ, который описывается функцией распределения Ферми - Дирака, называется вырожденным.
В каком из состояний будет находиться электронный газ, зависит от концентрации электронов и температуры. Концентрация определяет среднее расстояние между электронами:
d = |
1 |
, |
(1.12) |
|
3 n |
|
|
атемпература - импульс электрона.
Вкачестве характерной величины возьмем средний тепловой импульс pT, который присущ наибольшему числу электронов:
mv2 |
|
p2 |
|
3 |
|
|
T |
= |
T |
= |
|
kT. |
|
2m |
2 |
|||||
2 |
|
|
|
Тогда длина волны электрона запишется в виде
λ = |
h = |
h |
, |
(1.13) |
|
pT |
3mkT |
|
|
где h - постоянная Планка.
Электронный газ можно считать невырожденным, если среднее расстояние между электронами d намного больше длины волны электрона λ. Используя выражения (1.12) и (1.13), получаем
11
1 |
|
h |
|
|
hn1/ 3 |
|
|
3 n |
>> |
|
, |
или |
|
<<1. |
(1.14) |
3mkT |
(3mkT )1 2 |
||||||
Таким образом, вырождению электронного газа способствуют низкие температуры и высокие концентрации электронов. Для металла при комнатной температуре условие (1.14) не выполняется, следовательно, электронный газ в металле сильно вырожден.
1.5. Плотность квантовых состояний
Ранее было установлено, что энергетические уровни электрона в металле являются вырожденными, причем кратность их вырождения возрастает с повышением энергии. Это означает, что интервалу энергий dE, взятому при бòльших энергиях, соответствует и бòльшее число состояний. Для описания распределения этих состояний по энергиям вво-
дится понятие плотности квантовых состояний g(E), определяемое как число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии для тела единичного объема.
Построим пространство волновых векторов - к -пространство, взяв прямоугольную систему координат, по осям которой будем откладывать кz компоненты волнового вектора:
2π/L
0
2π/L 2π/L
кx
Рис.1.3. Пространство волновых векторов. Выделен минимальный объем
2π 3
кх, ку, кz. Поскольку к = 2λπ , раз-
мерность к -пространства - обратная длина. Компоненты волнового вектора отобразятся по осям координат в виде дискретного ряда точек, отстоящих друг от
друга на расстояние 2Lπ (рис.1.3).
Концы всех волновых векторов к в к -пространстве образуют простую кубическую решетку. При этом каждому волновому вектору отвечает одна элементарная ячейка кубической решетки, построенная вблизи его конца,
12
|
2π |
2π |
2π |
|
2π 3 |
(2π)3 |
|
|||||
объемом |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
. С учетом спина каждому |
|
|
|
|
V |
||||||||
|
L |
L |
L |
|
L |
|
|
|||||
волновому вектору к соответствуют два квантовых состояния, поэтому объем к -пространства, приходящийся на одно квантовое состояние для тела единичного объема V = 1, составляет
δVк = (22πV)3 = 4π3.
Определим число состояний, содержащихся в интервале энергий от Е до Е = dE.
Рассмотрим в к -пространстве изоэнергетическую поверхность, образованную концами всех векторов, удовлетворяющих условию
E = h2к2 = h2к2 . 2m 2m
Это - сфера радиусом
=2mE 1
2
кh2 .
Число состояний, содержащихся внутри сферы, т.е. в шаре радиусом к, легко найти, поделив объем шара
|
4 |
πк3 |
|
4 |
|
2mE 3 2 |
|
||
τк = |
|
= |
|
π |
|
|
(1.15) |
||
3 |
3 |
h2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
на объем, приходящийся на одно состояние 4π3. Если построить две сферы (рис.1.4), соответствующие энергиям E и E + dE, то число состояний в шаровом слое dτк, заключенном между двумя сферами, будет как раз равно числу состояний в интервале энергий от Е до E + dE:
g(E)dE = dτк .
δVк
Из (1.15) следует
dτк = 2π 2m 3 2 E1 2dE.
h2
Тогда
g(E)dE = |
1 |
2m 3 2 |
1 2m 3 2 |
|||||||||
|
2π |
|
|
|
E1 2dE = |
|
|
|
|
|
E1 2dE, |
|
4π3 |
|
2 |
2π2 |
|
2 |
|||||||
|
h |
|
|
h |
|
|
||||||
13