6.5. Решение биполярного уравнения

Рассмотрим решение биполярного уравнения для стационарного случая на примере одномерного полупроводника n-типа. В этом случае биполярное уравнение примет вид

Полупроводник будем считать полубесконечным: x ≥ 0, а граничные условия зададим в виде

Согласно уравнению (6.26) распределение избыточных носителей зависит от процессов диффузии (первое слагаемое), дрейфа (второе слагаемое) и рекомбинации (третье слагаемое). Во многих случаях оказывается, что преобладает какой-либо один из этих процессов, тогда уравнение можно упростить. Рассмотрим некоторые приближения при решении уравнения (6.26).

Диффузионное приближение

Данное приближение реализуется, если диффузионный ток дырок много больше дрейфового тока:

так что

j p = eµp pE − eDp d∆p ≈ − eDp d∆p . dx dx

В этом случае в биполярном уравнении исчезает член, содержащий электрическое поле, и оно приобретает вид

где Lp = Dpτp - диффузионнаядлинадырок.

Общее решение уравнения (6.30) имеет вид

∆p(x)= Aeα1x + Beα2 x ,

где α1, α2 - корни характеристического уравнения

α2 − 1 = 0;

L2p

Из (6.31) следует, что диффузионная длина - это расстояние, на котором избыточная концентрация убывает в e раз (рис.6.4).

Зная распределение дырок, можно найти плотность диффузионного тока:

127

где через ρ обозначена плотность заряда e∆p, а через vD - скорость диффузии:

Таким образом, Lp = vD τp, т.е. дифузионная длина есть средний путь, который проходят дырки вследствие диффузии за время жизни.

Определим условие, при котором справедливо диффузионное приближение. Подставляя в неравенство (6.29) распределение дырок (6.31), получаем

или eLp E << kT.

Таким образом, диффузионное приближение справедливо, если энергия, получаемая носителями заряда от электрического поля на диффузионной длине, значительно меньше их средней тепловой энергии.

Определим критическое электрическое поле условием

где LE = µpEτp = vd τp - дрейфовая длина дырок, равная среднему

расстоянию, которое проходят дырки вследствие дрейфа за время жизни.

Решение уравнения (6.32) имеет вид

− x

∆p(x)= ∆p(0)e LE .

В дрейфовом приближении комплекс из электронов и дырок на рис.6.3,в будет перемещаться в полупроводнике n-типа со скоростью µpE, что позволяет, измеряя эту скорость, определить величину дрей-

фовой подвижности дырок.

Общий случай

Общее решение уравнения (6.26) имеет вид

∆p(x)= Aeα1x + Beα2 x ,

где α1, α2 - корни характеристического уравнения

L2pα2 − LEα −1 = 0 ,

или

При заданных граничных условиях физический смысл имеет только отрицательный корень уравнения:

Величина α зависит от направления электрического поля E . Если поле направлено по оси x, то E > 0, и диффузия и дрейф происходят в

одном направлении. Электрическое поле затягивает избыточные носители вглубь полупроводника. Их концентрация оказывается выше, чем в отсутствие поля (рис.6.5,а):

129

∆p(x)= ∆p(0)e− Lx+ ,

где

Величина L+ - диффузионная длина по полю. Рассмотренное явление называется инжекцией и наблюдается, например, при прямом смещении на p-n переходе.

Если электрическое поле направлено против оси x, т.е. E < 0 , диф-

фузия и дрейф происходят навстречу друг другу. В этом случае электрическое поле тормозит движение дырок, которые распространяются вглубь полупроводника на меньшую глубину (рис.6.5,а):

∆ ( )= ∆ ( ) − x−

p x p 0 e L ,

где

ВеличинаL– называется диффузионнойдлинойпротив поля.

Впроведенныхрассуждениях предполагалось, чтограничная концентрация∆p(0) > 0. Однако сделанные выводы справедливы идля∆p(0) < 0. Приэтомнаибольшийинтереспредставляет вариант∆p(0) < 0, E < 0. Та-

койслучайреализуется, например, вблизиобратно-смещенногоp-n переходаиназывается экстракцией(рис.6.5,б).

Рассмотренноевышерешениеодномерного биполярного уравнения является лишьчастным случаем решенияфундаментальнойсистемы уравнений(6.1) - (6.5). Дляадекватного описанияфизическихявленийвреальных полупроводниковых структурахснеравномернымраспределением

130

примеситребуется явноезаданиезависимостейподвижностиивремени жизниносителейзарядаотконцентрациипримеси, учетэффектовсильного легирования ит.д.

Крометого, необходимоопределитьграничныеусловия, представляющиесобойматематическоеописаниевзаимодействия полупроводника свнешнейсредой наегограницах (поверхностииэлектрических контак-

тах).

Решениетакихсложных задач проводитсяобычно численнымиметодамиирассматривается вспециальнойлитературе, посвященноймодели-

рованиюфизических процессоввполупроводниковых структурах.

Литература

1.Зи С. Физика полупроводниковых приборов. В 2-х т. - М.: Мир, 1984. - Т. 2. - 445 с.

2.Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. -

М.: Наука, 1977. - 672 с.

3.Шалимова К.В. Физика полупроводников. - М.: Энергоатомиз-

дат, 1985. - 392 с.

4.Смит Р. Полупроводники. - М.: Мир, 1982. - 560 с.

5.Киреев П.С. Физика полупроводников. - М.: Высшая школа, 1975. - 584 с.

6.Стильбанс Л.С. Физика полупроводников. - М.: Советское ра-

дио, 1967. - 452 с.

7.Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: - Наука, 1978. -

131

791с.

8.Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. В 2-х т. - М.:

Мир, 1979. - Т. 1. - 399 с.

132