мени должно проходить одинаковое количество электронов и дырок, т. е. переноситься нулевой заряд. Однако электроны движутся быстрее дырок, поэтому распределения электронов и дырок не совпадают друг с другом (рис.6.2,б), что приводит к разделению зарядов и возникновению электрического поля ED. Это поле называется полем Дембера и имеет такое
направление, при котором оно ускоряет дырки и тормозит электроны. В результате устанавливается одинаковая скорость движения электронов и дырок, которые движутся в виде единого комплекса.
Если в дополнение к полю Дембера действует внешнее электрическое поле, то оно также стремится нарушить электронейтральность, поскольку действует на избыточные электроны и дырки в противоположных направлениях.
Однако для нарушения электронейтральности требуются очень большие поля. И наоборот, даже незначительное отклонение от электронейтральности в локальной области полупроводника приводит к возникновению сильных полей.
Пусть, например, в кремнии с концентрацией электронов n0 = 1016 см–3 на расстоянии ∆х = 10 мкм происходит нарушение электронейтральности всего на 1%, т.е. ∆p – ∆n = 1014 см–3. Решая уравнение Пуассона, получаем
∆x |
e(∆p − ∆n) |
|
1,6 10 |
−19 |
14 |
В |
|
E = ∫e(∆p − ∆n)dx = |
∆x = |
|
10−14 10−3 ≈104 |
, |
|||
|
|
|
см |
||||
εε0 |
εε0 |
12 8,86 10 |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, вполупроводникевозникаетсильноеполе.
В дальнейшем будем считать, что поле слабое и для избыточных концентраций справедливо условие квазинейтральности:
∆n ≈ ∆p. |
(6.13) |
6.3. Максвелловское время релаксации
Процессы рекомбинации и генерации рассматривались в предположении равенства избыточных концентраций электронов и дырок. Однако не обсуждался вопрос, в течение какого времени устанавливается электронейтральность (квазинейтральность) полупроводника.
Рассмотрим полупроводник n-типа, в который в момент времени t = 0 введена избыточная концентрация дырок ∆p(0). Это приводит к
120
возникновению объемного заряда ρ(0) = e∆p(0) и электрического поля E. Под действием этого поля основные носители заряда, электроны,
дрейфуют в область с избыточной концентрацией дырок. В результате концентрация избыточных электронов растет, в некоторый момент достигает концентрации дырок, и в полупроводнике устанавливается электронейтральность.
На скорость этого процесса могут влиять и другие факторы. Исключим их, сделав следующие предположения:
а) диффузионный ток равен нулю;
б) генерация внешним воздействием и рекомбинация отсутствуют:
Gn = Gp = 0, τn = τp = ∞;
в) электропроводность σ0 полупроводника постоянна.
При сделанных предположениях из системы уравнений (6.1) - (6.5) получаем
|
|
|
j = jn + jp = σ0 |
E |
; |
|
|
|
|
(6.14) |
|||||||||
|
|
|
∂n |
= |
|
∂∆n |
= |
1 jn ; |
|
|
|
|
(6.15) |
||||||
|
|
|
∂t |
|
∂t |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂p |
= |
∂∆p |
|
= − 1 jp . |
|
|
|
|
(6.16) |
||||||||
|
|
|
∂t |
|
∂t |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||||||
Вычитая уравнение (6.15) из уравнения (6.16), с учетом выражений |
|||||||||||||||||||
(6.14) и (6.5) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂(∆p − ∆n) |
= − |
1 j = − σ0 |
|
|
= − |
|
σ0 |
(∆p − ∆n), |
|
||||||||||
E |
|
||||||||||||||||||
∂t |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
εε0 |
|
||||
или |
|
d(∆p − ∆n) |
|
|
|
∆p − ∆n , |
|
||||||||||||
|
|
= − |
(6.17) |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
τм |
|
|
|
|
|
||||
где τм = |
εε0 |
- времярелаксацииМаксвелла. |
|
||||||||||||||||
|
σ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения (6.17) имеет вид |
|
t |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τм . |
|
|||
(∆p − ∆n) = (∆p − ∆n) e |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если σ = 10 Сим/м, ε = 10, то τм ~ 10–11 с, поэтому установление электронейтральности происходит очень быстро.
Таким образом, после введения избыточной концентрации неосновных носителей заряда в полупроводник можно выделить два этапа, характеризующихся различными постоянными времени.
На первом этапе избыточная концентрация неосновных носителей компенсируется избыточной концентрацией основных носителей. Этот процесс заканчивается установлением электронейтральности (квазинейтральности) и определяется временем релаксации Максвелла
τм ~ 10–11 - 10–13 c.
На втором этапе избыточные концентрации электронов и дырок убывают синхронно в условиях электронейтральности. Этот процесс завершается исчезновением избыточных концентраций и определяется временем жизни пары электрон-дырка τ ~ 10–4 - 10–9 c.
6.4. Биполярное уравнение
Рассмотрим одномерный полупроводник, в котором происходит локальная генерация электронно-дырочных пар светом (рис.6.3,а). После выключения света первоначальное распределение избыточных носителей расплывается за счет процессов диффузии и рекомбинации и спустя время порядка времени жизни исчезает (рис.6.3,б).
Проведем тот же эксперимент в условиях, когда в полупроводнике создано электрическое поле, направленное по оси x. Это поле действует на электроны и дырки в противоположных направлениях, однако оно слишком мало, чтобы нарушить электронейтральность. Оказывается, что при наличии поля после выключения света первоначальный комплекс избыточных электронов и дырок будет, расплываясь, двигаться по направлению поля в полупроводнике n-типа (рис.6.3,в) и против поля в полупроводнике p-типа.
Для объяснения рассмотренного эксперимента решим систему уравнений (6.1) - (6.5) для однородно-легированного полупроводника в условиях квазинейтральности (6.13). Будем предполагать, что электро-
ны и дырки рекомбинируют парами, так что τn = τp = τ.
Подставляя уравнение (6.1) в уравнение (6.3) и уравнение (6.2) в (6.4), получим
122
|
∂∆n |
= − ∆n + nµ |
|
|
|
+ µ |
|
|
|
n + D 2n; |
(6.18) |
|||||
|
E |
E |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
∂t |
|
|
τ |
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂∆p |
= − |
∆p |
− pµp |
|
− µp |
|
p + Dp 2 p . |
(6.19) |
||||||||
E |
E |
|||||||||||||||
|
∂t |
τ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Условие квазинейтральности ∆n ≈ ∆p можно использовать во всех членах этих уравнений, кроме членов, содержащих E , так как именно
они описывают электрическое поле, уравнивающее концентрации электронов и дырок. Поэтому эти члены целесообразно исключить, умно-
жив уравнение (6.18) на σp = epµp, а уравнение (6.19) - на σn = enµn и сложив результаты. В конечном уравнении можно принять ∆n = ∆p ,
Свет
Полупроводник а)
∆p, ∆n
t = 0
t1 E = 0
t2
x
0
б)
∆p, ∆n
t = 0
E
t1
t2
x
0
в)
Рис.6.3. Поведение электронов и дырок при биполярной диффузии и дрейфе: а - генерация электронно-дырочных пар светом; б - поле отсутст-
вует; в - поле направлено по оси x (полупроводник n-типа)
123
следовательно, ∂∂pt = ∂∂nt , p = n, 2p = 2n. В итоге получим
|
∂∆n |
= − |
∆n |
+ µ |
|
n + D 2n , |
(6.20) |
||
|
E |
||||||||
|
∂t |
τ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
µnσp − µpσn |
|
|
|
||||
|
|
µ = |
; |
(6.21) |
|||||
|
|
|
σn + σp |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
D = |
Dnσp + Dpσn |
. |
(6.22) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
σn + σp |
|
|
|
||
Уравнение (6.20) называется биполярным уравнением, величина
µ - биполярной подвижностью, D - биполярным коэффициентом диффузии. Биполярное уравнение эквивалентно системе уравнений (6.1) - (6.5) и позволяет найти распределение избыточных носителей в условиях квазинейтральности. Рассмотрим вид этого уравнения для
конкретных полупроводников. |
|
|||
Полупроводник n-типа при низком уровне |
инжекции: z << 1, |
|||
σn >> σp. В этом случае получаем µ = –µp, D = Dp , |
|
|||
∂∆p |
= − ∆p − µp |
|
p + Dp 2 p. |
(6.23) |
E |
||||
∂t |
τp |
|
||
В уравнение (6.23) входят параметры только неосновных носителей заряда - дырок. Комплекс из электронов и дырок на рис.6.3,в будет двигаться вправо, т.е. в ту сторону, куда движутся дырки.
Полупроводник p-типа при низком уровне инжекции: z << 1,
σp >> σn.
Из выражений (6.21) и (6.22) следует µ = µn, D = Dn, поэтому биполярное уравнение примет вид
∂∆n = − |
∆n + µ |
|
n + D 2n . |
(6.24) |
E |
||||
∂t |
n |
|
n |
|
τn |
|
|
|
В полученное уравнение входят параметры только неосновных носителей заряда - электронов. Это означает, что совместное поведение электронов и дырок определяется поведением неосновных носителей заряда, а основные носители заряда, дырки, лишь обеспечивают квазинейтральность полупроводника. В полупроводнике p-типа комплекс из электронов и дырки будет двигаться против поля, т.е. в ту сторону, куда движутся неосновные носители заряда.
124
Собственный полупроводник и полупроводник при высоком уровне инжекции. Эти два случая рассматриваются вместе, поскольку при
высоком |
уровне |
инжекции |
∆p = ∆n >> (n0 + p0), |
|
|
поэтому |
||||||||
n = n0 + ∆n ≈ ∆n, p = p0 + ∆p ≈ ∆p и, следовательно, n ≈ p. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из выражений (6.21), (6.22) следует µ = 0, D = Dp |
2b |
|
, |
b = |
|
µn |
, |
|||||||
b + |
1 |
|
µp |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и биполярное уравнение принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂∆p |
= − ∆p + |
2b |
|
|
Dp 2 p . |
|
|
|
|
(6.25) |
||
|
|
∂t |
b + |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Время жизни, входящее в уравнение (6.25), постоянно для собственного полупроводника при низком уровне инжекции и определяется конкретным механизмом рекомбинации. При высоком уровне инжекции и рекомбинации через ловушки время жизни также постоянно и определяется выражением (5.28).
В рассматриваемом случае в биполярном уравнении отсутствует слагаемое, содержащее электрическое поле. Это означает, что поле не влияет на пространственное распределение носителей заряда. Комплекс из электронов и дырок останется неподвижным. Однако отсутствие поля в уравнении (6.25) вовсе не означает отсутствие дрейфовой составляющей тока.
Таким образом, для нахождения распределений ∆n(r,t), ∆p(r,t) в
случае примесного полупроводника при низком уровне инжекции необходимо решать биполярное уравнение для неосновных носителей заряда (6.23) или (6.24). При высоком уровне инжекции или для собственного полупроводника необходимо решать уравнение (6.25).
125