излучения или путем инжекции из электрического контакта. При этом избыточная концентрация оказывается распределена неравномерно.
Знание пространственного распределения избыточной концентрации необходимо при анализе физических процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах.
Это распределение может быть получено путем решения системы уравнений, описывающих поведение электронов и дырок в полупроводниках. Такими уравнениями являются:
уравнения для плотностей токов:
jn = enµnE + eDn n,
jp = epµpE − eDp p;
уравнения непрерывности:
∂n |
= G − |
∆n + |
1 |
j |
, |
∂t |
n |
τn |
e |
n |
|
∂p |
= Gp − |
∆p − |
1 |
jp ; |
|
∂t |
|
τp |
e |
|
|
уравнение Пуассона:
E = − 2ϕ = ρ ,
εε0
где ρ = e(p – n + N d+ − N a− ) - объемный заряд; ϕ - потенциал.
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
Для нахождения решения системы (6.1) - (6.5) необходимо задание начальных и граничных условий на поверхности полупроводника и контактах.
В общем случае рассматриваемая система является нелинейной, так как концентрации примесей, подвижности, коэффициенты диффузии и времена жизни могут зависеть от координаты. Поэтому решение системы (6.1) - (6.5) в общем виде вызывает значительные математические трудности. В то же время для понимания физических явлений во многих случаях достаточно рассмотреть решение системы в предположении постоянства указанных величин.
6.2. Квазинейтральность
116
Прежде чем перейти к решению системы (6.1) - (6.5), обсудим некоторые вопросы, связанные с нарушением электронейтральности в полупроводниках.
Уравнение электронейтральности (3.15) было сформулировано для равномерно легированного полупроводника. В частности, для полупроводника n-типа его можно записать в виде
ρ = e( N d+ – n0) = 0, |
(6.6) |
где учтено, что n0 >> p0.
Выясним, выполняется ли уравнение (6.6), если концентрация донорной примеси зависит от координаты (рис.6.1).
При ионизации донорной примеси в полупроводнике возникает градиент концентрации электронов, создающий диффузионный ток. Однако в состоянии термодинамического равновесия ток через полупроводник отсутствует:
jn = en0µnE + eDn dndx0 = 0.
Отсюда следует, что в полупроводнике возникает внутреннее электрическое поле:
E = − |
Dn |
|
1 |
|
dn0 |
= − kT |
|
1 |
|
dn0 |
. |
(6.7) |
||
|
|
n |
dx |
|
n |
|
||||||||
µ |
n |
|
e |
|
|
dx |
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
Это поле направлено по оси x и препятствует движению электро- |
||||||||||||||
нов под действием градиента кон- |
Nd (x), n0(x) |
|
|
|||||||||||
центрации. Его величина такова, что |
|
|
||||||||||||
диффузионный ток электронов урав- |
|
|
|
|
Nd |
|
|
|||||||
новешивается дрейфовым током. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В результате ухода электронов |
|
|
|
|
n0 |
E |
||||||||
из области с высокой концентрацией |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
заряды электронов и ионов не везде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
компенсируют друг друга. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
возникает объемный заряд, |
|
связан- |
|
|
0 |
|
|
L |
||||||
ный с электрическим полем уравне- |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
нием Пуассона:
117
|
|
dE |
e(N + |
− n ) |
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
d |
0 |
|
, |
|
|||
или |
|
dx |
|
|
εε0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
εε |
0 |
|
dE |
|
|
|
|
e N |
d |
− n |
− |
|
|
|
|
= 0. |
(6.8) |
|||
e |
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
dx |
|
|
|
|||||
Из сравнения выражений (6.6) и (6.8) следует, что в общем случае в неоднородно-легированном полупроводнике уравнение электронейтральности не выполняется.
Однако если выполняется условие
εε0 |
|
dE |
|
+ |
|
|
|
|
|
<< n0 |
, Nd |
, |
(6.9) |
e |
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
товозникающийобъемныйзарядмалиуравнение(6.8) переходитв(6.6). В этомслучае говорятоквазинейтральности полупроводника. Выясним условие, при котором объемным зарядом можно пренеб-
речь. Подставляя электрическое поле из (6.7) в (6.9), получаем
εε |
0 |
|
dE |
|
εε |
0 |
|
d |
kT 1 |
|
dn |
|
|
εε |
0 |
kT |
1 |
dn |
|
2 |
1 |
|
d 2n |
|
|
||||
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
= |
|
|
|
|
|
0 |
|
− |
|
|
0 |
|
<< n0 |
|||
e dx |
|
|
|
|
e n0 |
dx |
e2 |
|
dx |
n0 dx2 |
|||||||||||||||||||
|
e dx |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Как следует из выражения (6.7), максимальное поле наблюдается в областях, где градиент концентрации электронов наибольший. Поэтому в большинстве случаев вторым слагаемым в квадратных скобках можно пренебречь. Тогда получаем
|
|
|
εε |
0 |
kT |
|
1 dn |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
<<1, |
|
|
|
|||
|
|
|
e2n |
|
dx |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn0 |
|
n0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<< |
, |
(6.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
где LD = |
εε0kT |
- длина Дебая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выполнении условия (6.10) справедливо уравнение электронейтральности (6.6), поэтому концентрацию электронов в (6.10) можно заменить на концентрацию примеси:
118
Свет
∆n, ∆p |
a) |
|
|
|
∆p |
|
∆n |
0 |
x |
|
б) |
Рис.6.2. Распределение электронов и дырок при биполярной диффузии, вызванной генерацией электронно-дырочных
пар |
на |
|
поверхности полупроводника |
dNd << Nd . dx LD
В общем случае при наличии примеси двух сортов
условие квазинейтральности
примет вид
|
|
dN |
<< |
N |
, |
(6.11) |
|
|
|
dx |
|
||||
|
|
|
LD |
|
|||
гдеN = Na – Nd - концентрация |
|
|
|
|
|||
результирующейпримеси. |
|
|
|
|
|||
Таким образом, в равно- |
|
|
|
|
|
||
весном |
состоянии полупро- |
|
|
|
|
||
водник |
квазинейтрален, |
если |
|
|
|
|
|
градиент концентрации |
при- |
|
|
|
|
||
меси значительно меньше из- |
|
|
|
|
|||
менения концентрации приме- |
|
|
|
|
|||
си на длине Дебая.
Если поменять знак неравенства в выражении (6.11) на противоположный, то полученное условие
dN |
>> |
N |
(6.12) |
|
dx |
LD |
|||
|
|
будет означать появление большого объемного заряда в полупроводнике. Такой случай реализуется, например, в p-n переходе.
Конечно, условие (6.12) не означает нарушения электронейтральности полупроводника в целом. Просто в полупроводнике происходит перераспределение зарядов и возникают локальные области положительных и отрицательных зарядов.
В неравновесных условиях нарушение электронейтральности может возникнуть даже в однороднолегированном полупроводнике, если избыточные концентрации электронов и дырок зависят от координаты.
Рассмотрим полупроводник, на поверхности которого происходит генерация светом электронно-дырочных пар (рис.6.2,а).
Электроны и дырки будут диффундировать вглубь полупроводника, рекомбинируя друг с другом, поэтому избыточная концентрация убывает. Совместное движение электронов и дырок под действием градиентов концентрации называется биполярной диффузией. Поскольку ток через полупроводник отсутствует, через его сечение в единицу вре-
119