Уравнение (5.3) называется уравнением непрерывности для электронов. Таким же способом может быть получено уравнение не-

5.3. Время жизни

Выражение для разности скоростей генерации и рекомбинации с учетом (5.1) можно записать следующим образом:

Величина Rn определяет превышение скорости рекомбинации над скоростью тепловой генерации и также называется скоростью рекомбинации. В отличие от rn величина Rn может быть малой при малом отклонении от положения равновесия (низком уровне инжекции) и равна нулю в состоянии термодинамического равновесия.

Аналогично получаем

При низком уровне инжекции (z << 1), когда избыточная концентрация мала: ∆n << n0, p0, можно разложить величины Rn и Rp в ряд по ∆n = ∆p, ограничившись линейным членом:

97

ятности исчезновения одного избыточного электрона и одной дырки в единицу времени вследствие рекомбинации.

С другой стороны, из сравнения формул (5.5) - (5.7) следует, что

Следовательно, величины τn и τp определяют также и скорости тепловой генерации электронов и дырок.

Если процесс рекомбинации сопровождается захватом носителей заряда локальными уровнями в запрещенной зоне, времена жизни электронов и дырок могут не совпадать.

Пусть за счет генерации внешним фактором, например светом, в момент времени t = 0 в полупроводнике возникли в равном количестве избыточные электроны и дырки: ∆n(0) = ∆p(0). Предположим, что ток отсутствует, реализуется низкий уровень инжекции, а захваты электронов и дырок на локальные уровни в запрещенной зоне происходят независимо друг от друга. Изменения концентраций электронов и дырок после прекращения внешнего воздействия описываются уравнениями непрерывности (5.3) и (5.4):

Решения уравнений (5.9) и (5.10) имеют вид

98

Таким образом, избыточные концентрации электронов и дырок релаксируют независимо друг от друга с временами жизни τn и τp. Так как в общем случае τn ≠ τp, может создаться впечатление, что происходит нарушение условия электронейтральности, так как ∆n(t) ≠ ∆p(t). Однако это не так, поскольку необходимо учитывать заряд ∆nt, захваченный локальными уровнями, поэтому уравнение электронейтральности нужно записать в виде

Поскольку электроны и дырки рекомбинируют парами, скорости изменения избыточных концентраций электронов и дырок равны. Тогда из (5.9) и (5.10) с учетом (5.11) следует

т.е. времена жизни электронов и дырок не равны друг другу. Только в условиях, когда захваченным зарядом можно пренебречь: ∆nt << ∆n, можно говорить о равенстве времен жизни электронов и дырок, т.е. о времени жизни пары электрон-дырка:

τn = τp = τ,

при этом

− t

∆n(t)= ∆p(t)= ∆n(0)e τ .

Можно показать, что время жизни τ есть время между генерацией носителя и его рекомбинацией, усредненное по всем носителям. Дейст-

99

вительно, в интервале времени (t, t + dt) исчезает (−d∆n)= ∆τn dt час-

тиц, просуществовавших в течение времени t. Среднее время жизни можно найти, если просуммировать времена жизни всех прорекомбинировавших частиц t (−d∆n) и разделить сумму на начальную концентра-

цию ∆n(0):

Используя понятие времени жизни и учитывая выражения (5.7), уравнения непрерывности (5.4) и (5.5) можно записать в виде

Входящие в эти уравнения времена жизни τn и τp постоянны только при низком уровне инжекции. При среднем и высоком уровнях инжекции скорости рекомбинации Rn и Rp уже нельзя представить в виде (5.7), поскольку ряд по степеням ∆n расходится. Однако формально можно записать:

приняв эти выражения за определение мгновенных времен жизни. Это позволяет сохранить запись уравнений непрерывности в виде (5.12), (5.13). Следует только помнить, что в общем случае времена жизни в этих уравнениях могут зависеть от времени, а сами уравнения становятся нелинейными.

100