вых приборов. Значения численных параметров полупроводников взяты из [1].

В учебном пособии не затронуты вопросы, касающиеся контактных, оптических, фотоэлектрических и других явлений в полупроводниках. Автор считает целесообразным излагать эти вопросы одновременно с изучением физики работы тех полупроводниковых приборов, в основе действия которых лежит конкретный физический эффект. Физика твердотельных приборов будет изложена в следующем учебном пособии, планируемом автором к изданию.

1. Свободный электронный газ

Развитие физики полупроводников исторически связано с исследованием электропроводности металлов, которое потребовало изучения поведения системы электронов, находящихся в твердом теле. Вместе с тем многие понятия из теории металлов, такие как подвижность, время релаксации, плотность квантовых состояний и другие нашли затем широкое применение в физике полупроводников. Поэтому целесообразно начать изучение физики полупроводников со свойств электронного газа в металлах.

1.1. Классический электронный газ

Впервые представление об электронном газе было введено Друде в 1900 г. в его теории проводимости металлов. Теория Друде в свете современных знаний о строении вещества основывалась на следующих предложениях:

1.При образовании металла валентные электроны его атомов отрываются и становятся свободными. Таким образом, металл представляет собой совокупность неподвижных положительно заряженных ионов, погруженных в электронный газ.

2.Электронный газ в металле подобен идеальному газу классической физики. Однако в отличие от последнего электроны сталкиваются только с неподвижными ионами, столкновениями с электронами пренебрегается.

2

3.В интервале между столкновениями электроны не взаимодействуют ни с друг с другом (приближение независимых электронов), ни с ионами (приближение свободных электронов).

4.Скорость электрона после столкновения направлена случайным образом, а ее величина определяется температурой той области, в которой произошло столкновение.

5.Вероятность для электрона испытать столкновение в единицу

времени равна 1/ τ . Величина τ называется временем свободного пробега или временем релаксации. Предполагается, что время свободного пробега не зависит от скорости электрона.

По аналогии с кинетической теорией газов для электронного газа в металле можно ввести функцию распределения по скоростям Максвелла - Больцмана, понятия плотности (концентрации) электронов n, тепловой скорости vТ, длины свободного пробега l = vT τ .

Плотность электронного газа легко рассчитать, зная массовую плотность металла и число Авогадро. Она составляет порядка 1022 - 1023 см–3, что примерно в 1000 раз больше плотности идеального газа классической физики.

Используя известное соотношение о равнораспределении энергии по степеням свободы:

m2vТ2 = 32 kT ,

где m - масса электрона; k - постоянная Больцмана; T - абсолютная температура, можно определить тепловую скорость vT, величина которой при Т = 300 К составляет ~107 см/с.

В отсутствие электрического поля электроны движутся хаотично, поэтому все направления равновероятны и средняя скорость направленного движения электронов равна нулю.

Если к металлу приложить электрическое поле E , то на электроны начинает действовать сила

F = ma = −eE

При этом каждый электрон приобретает ускорение

a = − emE .

Здесь через e обозначено абсолютное значение заряда электрона. Пусть t - время, прошедшее с момента последнего столкновения.

Тогда скорость электрона в момент времени t равна

3

v(t)= vT + at = vT − emE t .

Определим среднюю скорость движения совокупности электронов в электрическом поле, называемую дрейфовой скоростью. Поскольку после столкновения все направления равновероятны, то среднее значение < vT > = 0. В то же время в соответствии с предположениями сред-

нее значение <t> = τ - времени релаксации. Поэтому

называется подвижностью электронов. Она численно равна дрейфовой скорости в единичном электрическом поле.

Движение совокупности электронов с дрейфовой скоростью vd

создает электрический ток. Поскольку концентрация электронов равна n, то за единицу времени nvd электронов пересечет единичное сечение, перпендикулярное вектору vd . Эти электроны перенесут заряд (–envd),

поэтому плотность тока электронов

jn = −envd = enµnE = σE,

где

На практике обычно используются внесистемные единицы:

сопротивлением ρ = 1/σ и имеет размерность ρ [Ом·см].

4

Формула (1.2) позволяет вычислить величину времени релаксации τ, если известно экспериментальное значение электропроводности σ. Для металлов расчет дает величину τ~10–14 - 10–15 c. При средней тепловой скорости электронов 107 см/с длина их свободного пробега составляет в таком случае ~1 - 10 Ǻ.

Полученное значение по порядку величины соответствует межатомным расстояниям в металлах, что согласуется с предположением о столкновениях электронов с неподвижными ионами. Однако оно противоречит опытным данным, из которых следует, что длина свободного пробега электронов в металлах может намного превосходить параметр решетки и при низких температурах достигать величины порядка 1 см.

Рассмотренная модель электронного газа противоречит также классическому закону Дюлонга - Пти, согласно которому все твердые тела при достаточно высоких температурах имеют одинаковую теплоемкость. Непонятно, почему диэлектрики, в которых электронный газ отсутствует, имеют такую же теплоемкость, что и металлы. Другими словами, неясно, почему классический электронный газ не вносит свой вклад в теплоемкость твердого тела.

Указанные противоречия удалось разрешить только в рамках квантовой теории электронного газа.

1.2. Квантовый электронный газ

Зоммерфельд развил теорию металлов, рассмотрев поведение электронного газа в металле с точки зрения квантовых представлений. Сохранив неизменными остальные предположения теории Друде, Зоммерфельд предположил следующее:

•для электронов в металле справедлив принцип Паули, поэтому распределение электронов по энергиям описывается не функцией распределения Максвелла - Больцмана, а функцией распределения Фèрми - Дирàка;

•силовые поля ионов и всех остальных электронов, кроме данного, налагаясь, компенсируют друг друга всюду внутри металла, а у поверхности образуют бесконечно высокий потенциальный барьер. Таким образом, электроны находятся в металле внутри потенциальной ямы с гладким дном и бесконечно высокими стенками.

5

Поскольку сохраняется приближение независимых электронов, поведение любого электрона в металле может быть описано одним и тем же уравнением Шредингера:

−h2 2Ψ(r )+ [U − E]Ψ(r )= 0 , 2m

где Ψ(r ) - волновая функция электрона; E, U - соответственно пол-

ная и потенциальная энергия электрона.

Внутри кристалла потенциальная энергия электрона постоянна. Выберем за начало отсчета энергий U = 0. Тогда уравнение Шредингера примет вид

где к - волновой вектор.

Амплитуду волны можно найти, используя условие нормировки

∫ΨΨ*dV = A2V =1,

V

откуда A = 1 .

V

Подставляя Ψ(r ) в (1.3), получаем закон дисперсии:

могут принимать любые значения, поэтому спектр энергии такого электрона непрерывный.

Движения электрона внутри металла ограничено его объемом, поэтому необходимо ввести граничные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения (1.3). Для удобства вычислений обычно выбирают кристалл в форме куба с ребром L. При больших размерах отличие реальной формы кристалла от кубической слабо влияет на его объемные свойства.

Теперь необходимо представить себе пространство, заполненное одинаковыми кристаллами в форме куба, приставленными боковыми

6

гранями друг к другу. В силу тождественности кристаллов следует ожидать, что в аналогичных точках кристаллов значения волновых функций будут одинаковы:

Выражения (1.6) называются периодическими граничными усло-

виями Борна - Кармана.

Подставляя волновую функцию (1.4) в первое из условий Борна - Кармана, получаем

электрона, т.е. являются квантовыми числами. Для получения полного набора квантовых чисел необходимо еще спиновое квантовое число

ms = ± 12 . В соответствии с принципом Паули каждый электрон в металле имеет свой набор квантовых чисел: (кx , кy , кz , ms ) или

(nx , ny , nz , ms ).

Дискретность волнового вектора приводит к дискретности спектра энергии электрона в кристалле. Закон дисперсии с учетом (1.8) запишется в виде (рис.1.1)

7

Наивысший энергетический уровень в металле при T = 0, на котором еще есть электроны, называется уровнем Ферми и обозначается EF. При T = 0 все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, заполнены электронами, все уровни выше уровня Ферми свободны. Для большинства металлов величина энергии Ферми составляет 5 - 10 эВ и слабо зависит от температуры.

9