никовых приборах эти явления вызывают лавинный и полевой пробои p-n перехода.
5.Рекомбинация электронов и дырок
5.1.Неравновесные электроны и дырки
Всостоянии термодинамического равновесия в полупроводнике электроны могут переходить на более высокие энергетические уровни, в результате чего появляются сво-
бодные |
электроны |
и дырки |
|
|
|
в |
г |
|
|
(рис.5.1). В этом случае говорят о |
|
|
|
|
|
|
|
||
процессах |
тепловой |
генерации. |
|
|
|
|
|
|
|
Скорости |
тепловой |
генерации |
|
|
|
|
|
|
|
электронов gn0 и дырок gр0 опреде- |
|
|
|
|
|
|
|
||
ляются как число носителей, воз- |
|
а |
б |
|
|
д |
е |
||
никающих в единицу времени в |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
единице объема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наряду с процессами генера- |
|
|
|
|
|
|
|
||
ции идут обратные процессы пере- |
Рис.5.1. Процессы |
генерации, |
|||||||
хода электронов и дырок на более |
рекомбинации |
и |
захвата |
в |
|||||
низкие энергетические уровни. Ес- |
полупроводнике: |
генерация |
пары |
||||||
ли при этом исчезает пара свобод- |
электрон-дырка а; рекомбинация |
||||||||
ных носителей электрон-дырка, то |
пары электрон-дырка б; захват |
||||||||
говорят о процессе рекомбинации, |
электрона в; генерация электрона г; |
||||||||
если исчезает только один из видов носителей заряда, - о захвате электрона или дырки (см. рис.5.1).
Процессы рекомбинации и захвата характеризуются суммарными скоростями рекомбинации электронов rn и дырок rр, определяемыми как число носителей, исчезающих в единицу времени в единице объема.
В состоянии теплового равновесия действует принцип детального равновесия. Он гласит, что скорости прямых и обратных процессов равны в деталях. Это означает, что равны скорости прямых и обратных переходов не только для всей совокупности состояний, но и между любыми физическими малыми группами состояний. Схематически этот принцип иллюстрирует рис.5.2, на котором длины стрелок приняты равными скоростям переходов между состояниями.
92
1 1
2 2
3 |
3 |
а) б)
Рис.5.2. Прямые и обратные переходы между группами состояний: а - недетальное равно-
весие;
полняются условия
Применительно к рассматриваемым процессам это означает, что если, например, происходит процесс захвата электронов из зоны проводимости на какой-либо уровень E1 в запрещенной зоне, то скорость захвата будет в точности равна скорости генерации (эмиссии) электронов с этого уровня обратно в зону проводимости.
В силу сказанного в состоянии термодинамического равновесия вы-
rn0 = gn0; rp0 = g p0 ,
и в полупроводнике устанавливаются равновесные концентрации электронов n0 и дырок p0.
Термодинамическое равновесие может быть нарушено внешним воздействием, например, освещением. При этом происходит дополнительная к тепловой генерация носителей внешним фактором, характеризуемая скоростями Gn и Gp, так что результирующие скорости генерации будут равны:
gn = Gn + gn0; |
|
gр = Gp + g p0 . |
(5.1) |
В условиях постоянства внешнего воздействия устанавливается равновесие существующих в этот момент процессов генерации и рекомбинации:
rn = gn; |
(5.1 а) |
rp = gp. |
(5.1 б) |
Концентрации электронов n и дырок p в этих условиях называются
неравновесными, а величины ∆n = n – n0, ∆p = p – p0 - избыточными концентрациями. В силу условия электронейтральности в большинстве случаев (но не всегда) ∆n = ∆p.
93
Отношение величины избыточной концентрации неосновных носителей к величине равновесной концентрации основных носителей называется уровнем инжекции z:
|
∆n |
для полупроводника |
p-типа; |
|
|
|
|
||
p |
0 |
|
|
|
z = |
|
|
|
|
|
∆p |
для полупроводника n-типа. |
||
n |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Различают низкий (z << 1), высокий (z >> 1) и средний (z ~ 1) уровни инжекции.
Выражения для концентраций электронов и дырок, полученные в главе 3, в неравновесных условиях неприменимы, поскольку в системе отсутствует единый уровень Ферми. Однако если рассмотреть отдельно электронный и дырочный газы, то для каждого из них можно формально ввести свой уровень Ферми - квазиуровень Ферми EFn для элек-
тронов и квазиуровень Ферми EF p для дырок. Введение квазиуровней
Ферми оказывается возможным потому, что процессы установления равновесных функций распределения электронов и дырок обусловлены быстрыми внутризонными процессами рассеяния (релаксации) и происходят без изменения концентраций частиц, в то время как изменение концентраций происходит существенно медленнее вследствие межзонных процессов рекомбинации - генерации (см. главу 4). В этом случае распределения электронов и дырок по энергиям можно получить, подставив в равновесные функции распределения вместо уровня Ферми соответствующий квазиуровень Ферми. В частности, в отсутствие вырождения
|
EF |
− Е |
|
||||
f (E)= e |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
kT ; |
|
||||
|
|
E |
− EF |
p |
|
||
f p (E)= e |
|
|
|
||||
|
kT |
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
что приводит к следующим выражениям для концентраций электронов и дырок:
94
|
|
|
|
Ec |
− EF |
||||
|
|
− |
|
|
|
|
n |
|
|
n = n0 + ∆n = |
|
|
|
kT |
|
||||
Nce |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
EF |
|
− |
Ev |
||
|
|
− |
|
p |
|
|
|
||
p = p0 + ∆p = |
Nve |
|
kT |
; |
|||||
|
EF |
− |
EF |
p |
|
|
|
|
|
n p = ni2e |
|
n |
|
|
|
|
|||
|
kT |
|
. |
|
|
|
|||
Таким образом, разность квазиуровней Ферми электронов и дырок характеризует степень отклонения системы от положения равновесия. В равновесном состоянии
EFn = EFP = EF ; n p = ni2.
5.2.Уравнения непрерывности
Внеравновесных условиях концентрации электронов и дырок могут изменяться не только в результате процессов рекомбинации и генерации, но также вследствие диффузии и дрейфа носителей. Уравнение, которое описывает изменение концентрации носителей заряда в результате всех этих процессов, может быть получено путем интегрирования кинетического уравнения Больцмана (4.7):
∂f |
|
|
1 |
|
|
|
|
∂f |
|
∂f |
∂f |
|
|
|
+ v f |
+ |
F к f |
− |
+ |
|
|||||||||
∂t |
|
∂t |
∂t |
= |
. |
|
||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
R |
G ∂t |
ст |
|
||||
Умножим все члены уравнения (4.7) на множитель |
1 |
и проин- |
||||||||||||
|
4π3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тегрируем их по 1-й зоне Бриллюэна. С учетом (4.2) получаем
95
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∫∂f |
|
|
|
|
∂ |
|
1 |
|
|
|
|
|
∂n . |
|
||
|
|
|
|
|
|
dVк |
= |
|
|
|
∫ fdVк |
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4π |
3 |
|
|
4π |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
∂t |
|
|
Vк |
|
|
∂t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично с учетом (4.5) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫v fdVк |
= − |
|
|
− |
|
|
|
∫vfdVк |
= − |
|
jn. |
||||||||
|
4π |
3 |
e |
4π |
3 |
|
e |
|||||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
к |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При интегрировании третьего члена уравнения, используя теорему Остроградского - Гаусса, перейдем от интеграла по объему зоны Бриллюэна Vк к интегралу по ее поверхности Sк:
1 |
|
∫ |
|
|
|
|
fdV = |
1 |
|
|
∫ |
|
|
( |
|
f )dV = |
1 |
|
∫ |
|
|
(к |
|
)dS |
|
, |
(5.2) |
||||
|
|
F |
к |
|
|
к |
F |
|
|
Ff |
s |
к |
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
4π |
h |
|
|
|
к |
4π |
h |
|
|
|
к |
4π |
h |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
Sк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где кs - значение вектора к |
на поверхности зоны Бриллюэна. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Полагаем, что минимум энергии в зоне проводимости находится в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
центре зоны Бриллюэна: к = 0. Функция распределения |
f (к) |
|
быстро |
||||||||||||||||||||||||||||
убывает с ростом к, поэтому можно считать, что f (кs )→ 0, а вместе с
ней и интеграл (5.2).
Интегрирование членов уравнения, связанных с рекомбинацией и генерацией, дает
1 |
|
|
|
∂f |
|
|
∂f |
|
|
|
∂n |
|
|
∂n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
dV |
|
= |
|
|
− |
|
= g |
|
− r . |
|
3 ∫ |
|
к |
|
n |
||||||||||||
4π |
|
∂t |
G |
|
∂t |
R |
|
∂t |
G |
|
∂t |
R |
n |
||||
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Наконец, интегрируя последний член, отвечающий за рассеяние носителей заряда, имеем
1 |
V∫ |
|
∂f |
dV |
|
|
∂n |
= 0 , |
|
|
|
|
к |
= |
|
||||
4π3 |
|||||||||
|
∂t ст |
|
|
∂t |
ст |
||||
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
поскольку процессы рассеяния не изменяют концентрацию носителей заряда.
Таким образом, получаем
96