Рассеяние на границах кри- |
|
|
||
сталла играет важную роль лишь |
|
|
||
в тонких пленках и в тех случаях, |
|
к θ к |
||
когда движение носителей заряда |
|
Na |
||
происходит в тонком слое вдоль |
|
|
||
поверхности полупроводника. |
b |
b |
||
Рассеяние носителей друг на |
||||
друге не |
играет существенной |
|
|
|
роли, поскольку их взаимодейст- |
|
|
||
вие было учтено в периодическом |
Рис.4.1. Рассеяние электронов и |
|||
потенциале |
решетки кристалла. |
|||
ро |
а о е а е ора |
|||
Дислокации могут сильно влиять на процесс рассеяния, поскольку занимают большие объемы кристалла. Однако при изготовлении приборов используются полупроводники с малой концентрацией дислокаций, поэтому их влияние можно не учитывать.
Рассеяние на атомах примеси, вакансиях и точечных дефектах проявляется лишь при низких температурах, когда концентрация ионизированных атомов мала, авлияние тепловых колебанийатомов незначительно.
Доминирующими видами рассеивающих центров в рабочем диапазоне температур и концентраций примеси кремниевых приборов являются ионы примеси и тепловые колебания решетки.
4.8. Рассеяние на ионах примеси
Процесс рассеяния представляет собой искривление траектории движения носителя заряда под действием сил кулоновского притяжения или отталкивания между этим носителем и ионом. Подобную задачу решал Резерфорд при изучении рассеяния α-частиц на ядрах атомов.
Расчет показывает, что в поле иона носитель заряда движется по гиперболе (рис.4.1). Угол отклонения θ вектора к от своего первоначального направления зависит от прицельного расстояния b и скорости движения носителя заряда. Чем меньше прицельное расстояние и скорость, тем на больший угол происходит отклонение.
Вычисление времени релаксации для данного случая приводит к зависимости времени релаксации от энергии:
τI(E) ~ E3/2
и к следующему выражению для подвижности:
83
µI = µ0I |
T 3/ 2 |
(4.26) |
, |
||
|
NI |
|
где µ0I - некоторая константа, не зависящая от температуры; NI - концентрация ионов.
Из анализа выражения (4.26) можно заключить следующее.
1. Подвижность обратно пропорциональна концентрации ионов. Здесь под NI следует понимать суммарную концентрацию ионов донорной и акцепторной примесей. Особенно наглядно это проявляется в
компенсированных полупроводниках, где Na = Nd. Следует также пом-
нить, что величина NI зависит от температуры.
2. Подвижность увеличивается с ростом температуры ~Т3/2. Это происходит потому, что с повышением температуры возрастает тепловая скорость движения носителей заряда, они меньше времени проводят в поле иона и отклоняются на меньший угол. Поэтому при рассеянии на ионах основной вклад в подвижность дают медленные электроны и дырки.
84
4.9. Рассеяние на тепловых колебаниях атомов
Упругие волны в кристалле
При температуре больше абсолютного нуля атомы в кристалле совершают колебания около положения равновесия. Поскольку атомы связаны друг с другом упругими силами, колебания любого атома передаются соседнему и распространяются по всему кристаллу в виде упругих волн.
Пусть равновесное положение атома характеризуется вектором r,
а его смещение относительно положения равновесия - вектором R. Тогда упругую волну смещений можно записать в виде
|
|
= |
|
ei (q |
r |
+ ωt ) |
, |
(4.27) |
R |
R |
|||||||
0 |
|
|
|
|
||||
где R0 - смещение атома в узле, принятом за начало координат. Вектор q упругой волны имеет смысл волнового вектора. Однако,
как и для электронных волн в кристалле, в силу периодичности расположения атомов вектор q задается не однозначно, а с точностью до
вектора трансляции обратной решетки. Поэтому вектор q правильнее
называть квазиволновым. Для кристалла конечных размеров использование граничных условий Борна - Кармана приводит к дискретности вектора q. Для одномерного кристалла, состоящего из цепочки N оди-
наковых атомов длиной L = Na, где a - параметр решетки, волновой вектор может принимать значения
qn = ± |
2π |
n, |
(4.28) |
|
Na |
||||
|
|
|
где n - целое число.
Условие (4.28) означает, что на длине кристалла L = Na укладывается целое число длин волн. Число физически различных волновых векторов q равно N - числу атомов в кристалле, и все они расположены в
пределах первой зоны Бриллюэна.
Аналогично тому, как в зонной теории энергия электрона зависит от волнового вектора к, частота упругих волн ω зависит от волнового
вектора q. Вид закона дисперсии ω(q ) определяется структурой кри-
85
сталла. Для атомной цепочки с одним базисным атомом в элементарной ячейке существует только одна зависимость ω(q), которая соответствует так называемым акустическим колебаниям.
Для атомной цепочки с двумя базисными атомами в элементарной ячейке существуют акустическая и оптическая ветви закона диспер-
сии (рис.4.2).
При q → 0, когда длина волны λ >> a, волны "не чувствуют" дискретности кристалла, для них применимо приближение сплошной среды. В этой области акустическая ветвь описывает обычные звуковые волны, для которых закон дисперсии имеет вид
ω = vзвq ,
где vзв - скорость звука.
Наибольшая частота колебаний в акустической ветви соответствует величине порядка 5 1012 Гц. Отметим, что при акустических колебаниях оба базисных атома в элементарной ячейке движутся в одном направлении (в одной фазе), как и атомы в соседних ячейках (рис.4.3,а).
Верхняя ветвь закона дисперсии соответствует частотам порядка 1013 Гц и называется оптической, поскольку эти частоты лежат в оптическом диапазоне волн. При оптических колебаниях соседние атомы движутся в противофазе (рис.4.3,б).
Втрехмерных кристаллах колебания атомов носят более сложный характер. В кристалле с одним базисным атомом в элементарной ячейке существуют только акустические колебания. При этом каждому вектору q соответствуют три колебания - одно продольное и два поперечных.
Вкристалле с sωбазисными атомами в элементарной ячейке имеют-
|
2 |
|
а |
|
1 |
|
б |
−π/a |
π/a |
Рис.4.2. Закон дисперсии для атомной цепочки с двумя базисными атомами: 1 – акустическая
Рис.4.3. Смещение атомов от их равновесных положений при акустических (а) и оптических (б) колеба-
86
ся три ветви акустических колебаний, при которых все атомы одной элементарной ячейки движутся как одно целое, и 3(s–1) оптические ветви, соответствующие различным вариантам колебаний атомов внутри одной ячейки.
Фононы
Сопоставим каждой из упругих волн (4.27) с частотой ω и волновым вектором q некоторую квантовую частицу с энергией E = ħω и
импульсом pф = hq, которая называется фононом. Таким образом, фо-
нон - это квант колебательного движения решетки. Энергию колеб-
лющейся решетки теперь можно представить в виде суммы энергий фононов, т.е. в виде энергии фононного газа.
Фононы не имеют спина и подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Среднее число фононов nф в состоянии с энергией ħω опреде-
ляется функцией распределения |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
. |
(4.29) |
||||
n |
|||||||||
|
|
hω |
|
||||||
|
ф |
|
|
|
|
||||
|
|
|
e |
kT |
|
−1 |
|
||
Изменение числа фононов означает изменение энергии решетки, которая, таким образом, может изменяться только квантами. С повышением температуры число фононов и энергия решетки растут. При высоких температурах kТ >> ħω, и число фононов прямо пропорционально температуре:
nф = hkTω .
Поскольку в кристалле могут существовать как акустические, так и оптические колебания, можно говорить об акустических и оптических фононах. Энергия оптических фононов ħωопт существенно больше энергии акустических фононов, поэтому при низких температурах, когда kТ << ħωопт, оптические фононы практически отсутствуют. При высоких температурах образуется большое число как акустических, так и оптических фононов.
Следует отметить, что фононы относятся к категории квазичастиц. Они описывают коллективное движение всех атомов кристалла. Поэтому фононы существуют только внутри кристалла и не могут его покинуть подобно, например, электрону или атому.
87