своему равновесному значению f0 после прекращения внешних воздействий, если начальное отклонение от равновесия невелико. При этом предполагается, что время релаксации не зависит от вида внешнего воздействия. Можно показать, что строгое введение времени релаксации справедливо лишь для упругих столкновений, однако и в других случаях этот метод дает хорошие результаты.
Для изотропного кристалла время релаксации не зависит от направления вектора к и является функцией только его величины, т.е. функцией энергии.
В приближении времени релаксации кинетическое уравнение имеет
вид
∂f |
1 |
|
|
|
|
f − f0 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
∂t |
+ v f + |
|
F к f |
= − |
|
. |
(4.11) |
||
h |
τ (к) |
||||||||
4.5. Дрейф и диффузия носителей заряда
Причинами, вызывающими появление электрического тока в полупроводниках, могут быть электрическое и магнитное поля, а также градиент функции распределения. В этом разделе будем считать, что сис-
|
|
|
∂f |
|
отсутствуют маг- |
тема находится в стационарном состоянии |
= 0 , |
||||
нитное поле ( |
|
= 0) |
∂t |
|
|
|
и градиент температуры ( Т = 0), кристалл являет- |
||||
B |
|||||
ся изотропным, а закон дисперсии у дна зоны проводимости имеет вид
E (к)= Еc + h2к2 .
2mn*
В соответствии с соотношениями (4.5) и (4.9) для электронного тока можно записать
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
n |
= − |
|
|
∫ |
v f |
0 |
(к)dV + |
∫ |
v f |
(к)dV |
. |
|||
|
|
||||||||||||||
|
|
4π |
3 |
|
к |
1 |
к |
||||||||
|
|
|
|
V |
к |
|
|
|
V |
к |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первый из интегралов здесь равен нулю, так как в равновесном состоянии ток отсутствует, поэтому
jn = − |
e |
|
∫vf1 (к)dVк. |
(4.12) |
|
3 |
|||
4π |
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
|
79
При выполнении условия (4.9) в левой части кинетического уравнения (4.11) вместо f может быть использована равновесная функция распределения f0, что позволяет вычислить неравновесную добавку f1, а затем и плотность тока:
|
|
|
|
|
f |
≈ − τ (к) |
v f |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
f |
|
, |
(4.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
к |
0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
= − e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из (4.12) и (4.13) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
jn = jn др + jn дифф, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
j |
|
= − |
|
e2 |
|
∫ |
τ (к)v ( |
|
|
|
f |
|
)dV , |
(4.14) |
|||||||
|
|
|
|
n др |
|
|
E |
к |
0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4π3h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jn дифф = |
e |
|
∫τ(к)v (v к f0 )dVк. |
(4.15) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4π |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ток jn др обусловлен движением электронов под действием элек-
трического поля и называется дрейфовым током. Ток jn дифф обуслов-
лен движением электронов под действием градиента функции распределения и называется диффузионным током.
Выполнив кропотливую работу по вычислению интегралов (4.14) и (4.15), дрейфовый и диффузионный токи электронов можно представить в следующем виде:
|
|
|
|
jn др = enµn |
E |
, |
|
|
|
|
|
(4.16) |
где µn - дрейфовая подвижность электронов, равная |
|
|||||||||||
|
|
|
∞ |
τ(E)(E − Ec )3/ 2 |
|
∂f |
|
|
|
|||
|
|
|
∫ |
0 |
|
|||||||
|
|
|
− |
|
dE |
|
||||||
|
|
|
∂E |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
µn = |
2e Ec |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4.17) |
||
3m* |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||
|
n |
∫(E − Ec )1/ 2 f0 dE |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Ec |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
jn дифф = eDn n, |
|
|
|
|
|
(4.18) |
||
где Dn - коэффициент диффузии электронов, см2/с, равный
80
∞
∫τ (E)(E − Eс)3/ 2 f0dE
Dn = |
2 |
|
Ec |
|
. |
(4.19) |
3m* |
|
∞ |
|
|||
|
n |
|
∫ |
(E − Eс)1/ 2 f0dE |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Таким образом, полный ток электронов может быть записан в виде
jn = enµn |
E |
|
+ eDn n. |
(4.20) |
|
Аналогично может быть вычислен и полный ток дырок: |
|
||||
jp = epµp |
|
− eDp p , |
(4.21) |
||
E |
|||||
где µр, Dp - соответственно дрейфовая подвижность и коэффициент диффузии дырок.
4.6. Соотношения Эйнштейна
Коэффициент диффузии и подвижность не являются независимыми между собой величинами. Сравнение выражений (4.17) и (4.19) показывает, что
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µn |
|
|
|
∫τ (E)(E − Ec )3/ 2 f0dE |
||||||||||
D |
= |
|
|
Ec |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
e |
|
∞ |
τ (E)(E |
|
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
∫ |
− Ec )3/ 2 − |
|
dE |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂E |
|
||||
|
|
|
|
Ec |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для невырожденного полупроводника |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
EF − E |
|
|
∂f0 |
|
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
f0 = e kT |
, |
|
= − |
|
|
|
|
|||||||
и |
|
|
∂E |
kT |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
D = µ |
n |
. |
|
|
|
|
(4.22) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
e |
|
|
|
|
|
|
|||
Последнее соотношение называется соотношением Эйнштейна. Аналогичным образом связаны коэффициент диффузии и подвижность дырок:
81
Dp = µp |
kT |
. |
(4.23) |
|
|||
|
e |
|
|
4.7. Механизмы рассеяния
Представим полученное выше выражение для подвижности электронов (4.17) в виде
|
|
|
|
µn = |
e < τ > |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m* |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ (E)(E − Ec )3/ 2 |
|
|
∂f |
|
|
|||
|
|
|
∫ |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
− |
|
dE |
|||||
|
|
|
∂E |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
< τ > = |
2 Ec |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(E − Ec )1/ 2 |
|
fdE |
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(4.24)
(4.25)
Из сравнений выражений (1.1) и (4.24) можно заключить, что величина <τ> играет роль среднего времени релаксации. Однако в отличие от времени релаксации τ в теории Друде, одинаковом для всех электронов, величина <τ> учитывает различный вклад в подвижность электронов с различными энергиями, поскольку зависит от величины τ(Е), а интегрирование происходит с весовой функцией (Е – Ес)3/2. Поэтому для каждого конкретного механизма рассеяния необходимо найти соответствующую зависимость τ(Е). Нахождение этой зависимости является основной задачей теории кинетических явлений.
Основными видами нарушений периодичности решетки кристалла, приводящими к рассеянию электронов и дырок в полупроводниках, являются:
1)ионы примеси;
2)тепловые колебания атомов;
3)атомы примеси;
4)вакансии, точечные дефекты;
5)дислокации;
6)электроны и дырки;
7)границы кристалла.
Их роль в рассеянии различна.
82