Среди всего многообразия кинетических явлений для целей настоящего пособия наибольший интерес представляет электропроводность.
4.1. Понятие столкновения
Согласно зонной теории электроны и дырки в идеальном кристалле движутся свободно, не испытывая соударений.
Если поместить идеальный кристалл в электрическое поле, то после его выключения носители заряда сохраняют приобретенную в поле дрейфовую скорость. Это означает, что электрический ток протекает в отсутствие электрического поля, т.е. проводимость идеального кристалла равна бесконечности.
Вреальном кристалле электрон (или дырка) испытывает столкновения с нарушениями периодичности решетки кристалла. Это приводит
кизменению его квазиимпульса, т.е. квазиимпульс и скорость электрона не сохраняются.
Если после столкновения носитель заряда остается в той же зоне, то такой процесс называют рассеянием. Концентрация частиц при рассеянии не изменяется.
Врезультате столкновения носитель заряда может покинуть зону. Он может также придти в нее из другой зоны или с локального уровня в запрещенной зоне. В этом случае говорят о процессах рекомбинациигенерации, которые приводят к изменению концентрации частиц.
Скорости этих двух процессов обычно резко различаются. Харак-
терные времена процессов рассеяния составляют величину порядка 10–11 - 10–14 с, в то время как рекомбинационные процессы характеризуются временами порядка 10–5 - 10–9 с.
4.2.Неравновесная функция распределения
Функции распределения Максвелла - Больцмана и Ферми - Дирака описывают систему частиц в состоянии термодинамического равновесия. Кинетические явления протекают в неравновесных условиях, следствием чего является изменение функции распределения. При этом ее конкретный вид зависит от того, каким способом термодинамическое равновесие было нарушено.
75
Рассмотрим 6-мерное фазовое пространство, состоящее из координатного пространства x, y, z и к-пространства кх, кy, кz. Введем функцию
распределения f (r, к, t), определив ее как вероятность нахождения час-
тицы в элементарном объеме фазового пространства, содержащего точку (r, к), в момент времени t.
Для определенности все дальнейшие рассуждения будут относиться к электронам, однако выводы справедливы и для ансамбля дырок, если использовать соответствующую функцию распределения и изменить заряд частицы.
Как было показано ранее, элементарный объем к-пространства, приходящийся на одно квантовое состояние для тела единичного объема, составляет 4π3. В объеме dVк зоны Бриллюэна будет содержаться dVк/4π3 состояний, из которых
dn = |
1 |
f ( |
r |
, к, t)dV |
(4.1) |
4π3 |
к |
|
занято электронами. Полное число электронов в единице объема, т.е. их концентрация, может быть найдено путем интегрирования выражения (4.1) по 1-й зоне Бриллюэна Vк:
n ( |
|
, t)= |
1 |
∫ |
f ( |
|
, к, t)dV . |
(4.2) |
|
r |
r |
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
4π3 |
|
|
к |
|
Vк
Функция распределения f (r, к, t) содержит всю необходимую ин-
формацию о системе частиц. Так, средняя скорость <v> и средняя энергия <E> электронов могут быть получены из выражений
|
1 |
|
∫ |
v f |
(к)dVк |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4π3 |
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
< v > = |
|
|
|
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
= |
|
∫vf (к)dVк , |
(4.3) |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
∫ |
f |
(к)dVк 4π |
|
n |
Vк |
|
||||||
|
|
|
4π3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Vк |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< E > = |
|
|
∫ |
E (к)f |
(к)dV . |
(4.4) |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4π3n |
|
|
|
|
|
к |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vк |
|
|
|
|
|
|
|
Из (4.3) следует общее выражение для электронного тока:
j |
n |
= −en < v > = − |
e |
vf |
(к)dV . |
(4.5) |
|
||||||
|
|
4π3 |
∫V к |
к |
|
|
|
|
|
|
|
76
В выражениях (4.3) - (4.5) с целью сокращения записи опущены аргументы r, t функции распределения.
4.3. Кинетическое уравнение Больцмана
Вид функции распределения может быть найден путем решения кинетического уравнения Больцмана. Это уравнение выражает закон сохранения во времени общего числа частиц и имеет вид
df |
= |
∂f |
+ |
∂f ∂ |
r |
+ |
∂f ∂к |
− ∂f |
|
+ |
∂f |
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
dt |
|
∂t |
|
∂ |
r |
|
∂t |
∂к |
∂t |
∂t |
|
R |
|
∂t |
|
G |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Поскольку |
|
|
|
d |
r |
|
|
|
|
|
|
dк |
|
1 ( |
|
|
|
|
|
|
), |
|
|
||
|
|
|
|
|
= v , |
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
F |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
h |
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где v - скорость электрона; |
|
|
- внешняя сила; |
||||||||||||||||||||||
F |
|||||||||||||||||||||||||
= 0. |
(4.6) |
Fa - сила, дейст-
вующая на электрон со стороны нарушения периодичности решетки, уравнение (4.6) может быть записано следующим образом:
∂f |
|
|
1 |
|
|
|
|
∂f |
|
|
∂f |
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ v f |
|
F к f |
|
|
|
|
|||||||||
|
+ |
|
− |
|
|
+ |
|
|
= |
. |
(4.7) |
||||
|
h |
|
|
||||||||||||
∂t |
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
R |
∂t |
|
G |
∂t ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим физический смысл членов этого уравнения.
Член v f описывает изменение функции распределения вследст-
вие процессов диффузии электронов под действием градиента концентрации или температуры.
Сила |
F |
включает воздействие внешних электрических |
E |
и маг- |
|||||||||||||||||
нитных |
|
полей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В |
|
|
[v |
|
|
], |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − e |
|
− e |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
E |
B |
||||||||||||||
поэтому |
слагаемое |
1 |
|
|
к f |
|
отражает изменение функции |
||||||||||||||
F |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
распределения под действием внешних полей. |
|||||||||||||||||||||
Член уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∂f |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Fa к f |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∂t ст = − |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
h |
|||||||||||||||||
называется интегралом столкновений и отвечает за изменение функции распределения в результате процессов рассеяния.
77
Наконец, члены |
∂f |
|
|
и |
∂f |
|
учитывают изменение функции рас- |
|
|
|
|||||
|
∂t |
|
R |
|
∂t |
|
G |
|
|
|
|
пределения вследствие процессов рекомбинации и генерации. Как было отмечено выше, эти процессы протекают значительно медленнее процессов рассеяния, поэтому указанные члены при рассмотрении кинетических явлений не учитываются.
∂f |
|
|
В стационарном состоянии |
∂t |
= 0 действие внешних сил на |
|
|
|
функцию распределения уравновешивается процессами столкновений:
|
1 |
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
|||
v f + |
|
F к f = |
. |
|||
|
||||||
|
h |
|
|
|
∂t |
ст |
После прекращения внешних воздействий столкновения возвращают систему в равновесное состояние:
∂f |
= |
|
∂f |
(4.8) |
∂t |
|
∂t ст . |
4.4. Время релаксации
Вычисление функции распределения в общем случае является сложной задачей. Эта задача значительно облегчается в тех случаях, когда отклонение от положения равновесия невелико, так что
f − f0 = f1 << f0 . |
(4.9) |
Скорость возврата в равновесное состояние, определяемая уравнением (4.8), зависит от степени отклонения от положения равновесия. При выполнении условия (4.9) интеграл столкновений можно разложить в ряд по степеням f1 (к), ограничившись первым членом:
|
∂f |
|
= − |
f |
− f |
0 |
. |
|
|
(4.10) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂t |
ст |
|
τ (к) |
|
|
|
|||
Из уравнения (4.10) при этом следует, что |
|
|||||||||
(f − f |
) = (f − f |
) e− |
t |
|
||||||
τ(к) |
. |
|
||||||||
|
0 t |
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
Величина τ (к) называется временем релаксации. Это есть харак- |
||||||||||
терное время, за которое функция распределения f (к) |
возвращается к |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |