полняют энергетические уровни от дна зоны Eс до уровня Ферми EF (0). Концентрацию электронов в этом случае можно легко найти, полагая функцию распределения Ферми - Дирака f(E) = 1 и производя интегри-

рование в (3.3) от Eс до EF (0):

T = 0, однако, как показывают расчеты, при выполнении условия

EF − Ec > 5 kT

этим отклонением можно пренебречь, с большой точностью полагая EF = EF (0). Дырочный газ в таком полупроводнике будет невырожден-

ным, поскольку для него выполняется условие (3.6), поэтому концентрация дырок в вырожденном электронном полупроводнике определяется формулой (3.8).

Для сильновырожденного дырочного полупроводника при выполнении условия

а концентрацию электронов можно определить по формуле (3.7). Из выражений (3.13) и (3.14) следует, что концентрация основных

носителей в сильновырожденном примесном полупроводнике не зависит от температуры.

Таким образом, в сильновырожденном полупроводнике уровень Ферми расположен либо внутри зоны проводимости, либо внутри валентной зоны на расстоянии не менее 5kT от ее края (см. рис.3.2).

Вырождение полупроводника происходит при его сильном легировании примесями. Свойства сильнолегированных полупроводников будут рассмотрены в разделе 3.7.

3.3. Уравнение электронейтральности

63

Нахождение равновесных концентраций электронов и дырок, согласно полученным выше формулам, требует знания положения уровня Ферми в полупроводнике.

Пусть имеется полупроводник, равномерно легированный донор-

ной Nd и акцепторной Na примесями. При Т > 0 в результате термической ионизации в полупроводнике создаются свободные электроны и

дырки, а также ионы донорной Nd+ и акцепторной Na− примесей

(см. рис.3.1). Условие электронейтральности требует, чтобы как во всем кристалле, так и в любом его макроскопически малом объеме сумма положительных и отрицательных зарядов была равна нулю:

Обозначим через nd, pd, na, pa концентрации электронов и дырок, находящихся соответственно на донорном и акцепторном уровнях. Поскольку донорный уровень может быть занят либо электроном, либо дыркой, имеем

С учетом соотношений (3.16), (3.17) получаем уравнение электронейтральности:

Уравнение (3.18) позволяет определить положение уровня Ферми в полупроводнике. Для его нахождения необходимо выразить все слагаемые этого уравнения через EF .

Выражения для n0 и p0 были получены раньше. Для нахождения

величин nd и pa требуется знать функции распределения электронов и дырок по примесным уровням. Функция распределения Ферми - Дирака для этой цели не подходит, так как получена для системы невзаимодействующих частиц. Она предполагает, что на каждом уровне могут находиться два электрона с противоположно направленными спинами, в то

время как на уровнях Ed и Ea может находиться не более одного элек-

трона. Действительно, уровни Ed и Ea были получены исходя из водородоподобной модели атома примеси и предполагали наличие только одного электрона. Введение в систему еще одного электрона резко ме-

64

няет значения разрешенных значений энергии вследствие сильного кулоновского отталкивания электронов.

Функция распределения электронов по примесным уровням, которая учитывает невозможность нахождения двух электронов на таком уровне, имеет вид

для акцепторных уровней.

Для дырок соответствующие функции распределения имеют вид

Зная функции распределения по примесным уровням, можно записать

Подстановка выражений для n0, p0, nd, pa в уравнение электронейтральности (3.18) приводит в общем случае к трансцендентному уравнению, связывающему уровень Ферми с температурой. Для некоторых простых случаев удается получить аналитическое решение.

65