3.1. Плотность квантовых состояний

При изучении зонной теории было показано, что электроны вблизи дна зоны проводимости ведут себя как свободные частицы, если им

приписать эффективную массу mn* .

Рассмотрим вначале плотность квантовых состояний для электронов в зоне проводимости в предположении, что эффективная масса

электронов mn* - скаляр. В этом случае закон дисперсии для электронов в зоне проводимости (2.8)

E(к)= h2к2

2mn*

совпадает с законом дисперсии для электронов в модели Зоммерфельда (1.9). Тогда плотность квантовых состояний в зоне проводимости gn(E) можно легко получить из выражения (1.16), если отсчитывать энергию от дна зоны:

В общем случае эффективная масса электрона является тензором второго ранга и описывается тремя компонентами: m1*, m2*, m3*, а чис-

ло эквивалентных минимумов в зоне проводимости равно Mc > 1. Расчет для этого случая дает выражение

плотности состояний для электронов. Введение эффективной массы плотности состояний означает замену Мс эквивалентных эллипсоидов равной энергии одной сферической изоэнергетической поверхностью, которая обеспечивает ту же плотность квантовых состояний.

59

В кремнии в 1-й зоне Бриллюэна имеется шесть минимумов энергии (см. рис.2.16): Mс = 6, а компоненты тензора эффективной массы m1* = m2* = mt* = 0,19m, m3* = ml* = 0,98m. Отсюда mс = 1,08m.

Аналогично рассчитывается плотность квантовых состояний gp(E) для дырок в валентной зоне. Полагая началом отсчета энергии потолок валентной зоны и считая эффективную массу дырок скаляром, получаем

При сложном строении валентной зоны аналогично можно ввести эффективную массу плотности состояний mv для дырок. Например, в кремнии имеются два вида дырок в валентной зоне с эффективными

массами m*рл = 0,16m и m*p т = 0,49m. Для них можно ввести

При этом плотность квантовых состояний для дырок в валентной

3.2. Равновесные концентрации электронов и дырок

Из определений плотности квантовых состояний gn(E) и функции распределения f(E) следует, что gn(E)dE есть число состояний в интервале энергий dE, из которых

занято электронами.

Общее число занятых состояний в зоне проводимости n0 определится в результате интегрирования по всей зоне. Поскольку функция f(E) резко убывает с ростом энергии, верхним пределом интегрирования можно взять ∞ :

60

Ec

Аналогично может быть получена концентрация дырок в валентной зоне:

− ∞

Расчет концентраций электронов и дырок проведем для двух наиболее важных случаев.

1. Невырожденный полупроводник. В таком полупроводнике не-

вырождены одновременно как электронный, так и дырочный газы. Энергия всех электронов невырожденного газа должна быть не ме-

нее чем на 3kT больше энергии Ферми. Поскольку минимальная энергия

называются эффективными плотностями квантовых состояний

соответственно в зоне проводимости и в валентной зоне.

Из условий (3.5) и (3.6) следует, что в невырожденном полупроводнике

n0<<Nс, p0<<Nv.

Для кремния при комнатной температуре величина Nc = 2,8 1019 см–

3, Nv = 1,04 1019 см–3.

Найдем произведение концентраций электронов и дырок в невырожденном полупроводнике:

Таким образом, в невырожденном полупроводнике произведение равновесных концентраций электронов и дырок есть величина постоянная, определяемая структурой энергетических зон, шириной запрещенной зоны и температурой. Эту константу легко определить, если рассмотреть случай собственного невырожденного полупроводника. В таком полупроводнике

n0 = p0 = ni .

Величина ni называется собственной концентрацией. Следова-

2. Сильновырожденный примесный полупроводник. Полупро-

водник называется вырожденным, если в нем вырожден либо электронный, либо дырочный газ. В сильновырожденном электронном полупроводнике, как и в металле, при T = 0 электроны в зоне проводимости за-

62