2.11. Примесная проводимость полупроводников

Зоннаяструктураполупроводниковбыларассмотренаранеевпредположении, чтоэлектрондвижется видеальном периодическом полекристалла. Реальныйкристаллвсегда содержит дефектырешетки, нарушающиеего периодический потенциалиприводящиекизменениюэнергетического спектраэлектрона. Наибольшийинтерессредитаких дефектов представляютатомы примеси, поскольку присозданииприборов ихсознатель-

новводятвполупроводникдляуправленияегосвойствами. Рассмотримполупроводник, концентрация примесивкотороммала,

такчтоатомыпримесиможносчитатьлокализованнымииневзаимодействующимидругсдругом. Тогдавнутреннееполевкристаллеможнопредставитьввидесуммыпериодического потенциаларешетки U (r ) инепе-

риодическойчасти V (r ), обусловленнойвзаимодействием электронас

примесью иотличнойотнулятолько вобластилокализации примеси. УравнениеШредингера дляэлектронавблизиатомапримесиприметтогда следующийвид:

где ψл(r ) и E л - соответственно волноваяфункцияиэнергия электрона

вблизипримеси.

Используяпонятиеэффективноймассыипредполагая ееизотропной, уравнение(2.18) можно заменитьэквивалентным емууравнением:

Рассмотримрешениеэтогоуравнениядлямоноатомногополупроводника, например, кремния сатомамипримесиэлементов III иV группПе-

риодическойтаблицыД.И.Менделеева.

Пустьодин изатомовкремния замещенатомомэлементаV группы (фосфор, мышьяк, сурьма, висмут). Дляопределенностипустьэтобудет атомфосфора. Уатомафосфоранавнешнейэлектроннойоболочке имеется

51

пятьэлектронов. Четыре изнихпримут участиевобразованииковалентныхсвязейсчетырьмя атомамикремния. Пятыйэлектроноказывается "лишним". Связьегосатомомфосфораослабляется засчетвзаимодействия сокружающимиатомамиполупроводника. Впервом приближенииэто влияниеможно учесть, еслипредположить, что ионпримеси иэлектрон помещенывсреду(кремний) сдиэлектрическойпроницаемостью ε. Тогда потенциальнуюэнергиюэлектронав полеионасзарядомZe можнозаписатьввиде

Сравнимэтоуравнениесуравнением Шрединтерадляэлектронав атомеводорода:

где ΨH (r ) и EH - соответственно волноваяфункцияиэнергия электрона

ватомеводорода.

Легко видеть, чтоуравнение(2.22) превращаетсяв(2.21), есливнем произвестизамену m → mn* и e2 → Zeε2 .

Решениеуравнения(2.22) хорошоизвестно. Энергияэлектронаватомеводородапредставляет собойряддискретныхэнергетических уровней:

гдеn = 1, 2, 3… - целыечисла.

Приn → ∞ электронстановится свободным, егоэнергияE → 0. Для переводаэлектрона изосновногосостояния(n = 1) всвободноетребуется

энергия ионизации

52

Радиуспервойборовскойорбитыватомеводорода, отвечающейосновномусостоянию, составляет

aB = h22 ≈ 0,53 Å. me

Произведя указанную выше замену, можно сразу получить решение уравнения (2.21). Однако при этом следует учесть, что в кристалле электрон считается свободным, если он находится в зоне проводимости, поэтому при n → ∞ энергия электрона должна стремиться не к нулю, а к Ec:

Такимобразом, взапрещеннойзонекремния вблизидназоныпроводимости появляютсяразрешенныеэнергетические уровни. Примеси, создающиетакиеуровни, называются донорнымипримесями, аэнергетическийуровеньосновногосостояния(n = 1) - донорнымуровнемиобозначаетсяЕd. (рис. 2.18). Энергетическиеуровни, соответствующиевозбужденнымсостояниям примеси, располагаются междуЕс иЕd. Энергияиониза-

циидонорнойпримесиравна

Принимаядлякремния mn* ≈ 0,5m, Z = 1, ε = 12, получаем ∆Ed ≈ 0,05 эВ.

Радиусорбитыэлектрона, находящегося надонорномуровне, составляет

Длякремния получаемaл ≈ 24аВ, поэтомуорбитаэлектронаохватываетпримерно100 атомовкремния. Следовательно, использованиедиэлектрическойпроницаемостидляобъяснения ослабления связиэлектронас

53

примесным атомомоказывается обоснованным.

При введении в кремний атомов элементов III группы (бор, галлий, индий, алюминий) трех валентных электронов атома примеси не хватает для установления ковалентных связей с четырьмя атомами кремния. Недостающий электрон может захватиться из валентной зоны. При этом образуется отрицательно заряженный ион примеси и связанная с ним дырка. Ситуация оказывается аналогичной рассмотренной при инверсии

знаков.

Посколькуэнергиядыроквкартинеэнергетических зонотсчитываетсявниз, получаем

Такимобразом, взапрещеннойзоневышепотолкавалентнойзоны

возникаютразрешенные энергетические уровни. Примеси, создающиетакиеуровни, называютсяакцеп-

∆Ed, ∆Ea << Eg

ипоэтомуназываются мелкимипримесными уровнями.

Электрон, находящийся надонорномуровне, приТ= 300 Кможет легко переходитьснеговзонупроводимости, таккакэнергия ионизации

54

донорнойпримеси∆Ed сравнимастепловойэнергиейkT ≈ 0,025 эВ. Этот процессприводиткобразованиюсвободного электронавзонепроводимостииположительно заряженного ионадонорнойпримеси. Аналогично электронизвалентнойзоныможетлегко переходитьнаакцепторныйуровень. Этотпроцессэквивалентенпереходудыркисакцепторного уровняв валентнуюзонусобразованием свободнойдыркииотрицательно заряженногоионаакцепторнойпримеси. Врезультатеприкомнатнойтемпературе практическивсяпримесь(донорнаяиакцепторная) оказывается ионизо-

ванной.

Такимобразом, еслив полупроводникввестидонорнуюпримесь, то концентрацияэлектроноввнемвозрастетибудетвыполняться соотношениеn >> p. Такойполупроводник называютэлектроннымилиполупро- водникомn-типа. Электроныв немназываются основныминосителями заряда, адыркинеосновными. Привведении акцепторнойпримесиобра-

зуетсядырочныйполупроводник, илиполупроводник p-типа. Внемвыполняется соотношениеp >> n, т.е. дырки являютсяос-

новныминосителямизаряда, аэлектронынеосновными.

ПривведениивкремнийатомовэлементовI, II, VI, VII иVIII групп могутвозникатьэнергетические уровни, расположенныеблизко ксередине запрещеннойзоны. Такие уровниназываютглубокими. Крометого, атомы элементовуказанных группспособнысоздаватьнеодин, а несколько примесных уровней, соответствующихразличнымзарядамZe иона. Наконец, однаитаже примесьможетобразовыватькакдонорные, такиакцептор-

ныеуровни.

Глубокие уровнимогутвозникатьтакжеврезультатедействиядругих дефектоврешетки, например, вакансийилидислокаций. Следуетотметить, чтоглубокиеуровнислабо влияютнапроводи-

мостьполупроводников, однако играютважнуюрольв процессах рекомбинации игенерации, которыебудутрассмотреныпозднее.

2.12. Влияние электрического поля на энергетический спектр электрона в кристалле

Рассмотрениезоннойструктурыполупроводниковпроводилосьв предложении, чтопотенциальная энергияэлектрона U (r ) определяется

только периодическим полемрешеткикристалла. Вовнешнемэлектрическом полеэлектрон приобретаетдополнительнуюэнергию W (r ). Водно-

55

родномэлектрическом поле E этаэнергияравна

W (r)= − eEr .

Будемпредполагать, чтовнешнееэлектрическое полезначительно меньшевнутрикристаллического поля, составляющего величину~108 В/см. Поэтомупотенциальнаяэнергия электронавовнешнемполемало меняется

нарасстояниях, сравнимыхс параметромрешеткикристалла:

Такимобразом, энергияэлектронавкристалле приналичиивнешнего поляравна

гдеE - энергияэлектронавотсутствиевнешнего поля.

Привыполнении соотношения (2.24) намалых расстояниях вторым слагаемым в(2.25) можнопренебречь, поэтомулокально спектрэнергии электронаостается прежним. Однако набольшихрасстояниях начинает

нуювполеэнергиюрешеткеисноваопускается наднозоны. Поэтому приведенныевпредыдущих разделахрассужденияоповеденииэлектрона вблизидназоныостаютсясправедливыми.

Накопленная надлинесвободного пробегаэнергияможетзатрачиватьсятакжена ионизацииатомов полупроводника. Этотпроцесслежитв основемеханизмалавинногопробоя, которыйбудетрассмотренвдаль-

нейшем.

Изрис.2.19 такжеследует, чтодляданного значения энергии E1 суще56

ствуетобласть, вкоторойэтот уровень попадаетвзапрещенную зону. Это, однако, неозначает, чтовзапрещеннойзоне появляютсяразрешенныезначения энергии. Взоннойтеории показывается, чтоэтаобластьсоответствуетчастномурешениюуравнения Шредингераввиденекоторойволновой функции, затухающейвглубь запрещеннойзоны. Подобный жевидимеет волноваяфункцияэлектронавнутрипотенциального барьеравзадачео туннелировании. Такимобразом, оказываетсявозможным туннельныйпереходэлектронабез изменения энергииизвалентнойзонывзонупроводимости. Этоявлениележитвосновемеханизмаполевого, илитуннельного

пробоя, наблюдаемого всильных электрических полях.

1)переход электронов из валентной зоны в зону проводимости с образованием пары свободных носителей - электрона и дырки;

2)переход электрона с донорного уровня в зону проводимости с образованием свободного электрона и положительно заряженного иона донор-

нойпримеси Nd+ ;

3) переход электрона из валентной зоны на акцепторный уровень с образованием свободной дырки и отрицательно заряженного иона ак-

цепторной примеси Na− .

Электроны, перешедшие в зону проводимости, занимают состояния с наименьшей энергией, т.е. заполняют энергетические уровни вблизи ее дна. Поскольку энергия дырок отсчитывается вниз, они за-

57

нимают состояния с наименьшей энергией вблизи потолка валентной зоны.

Для нахождения равновесных концентраций электронов n0 и дырок p0 необходимо знать плотности квантовых состояний в обеих зонах и вероятности заполнения каждого квантового состояния.

58