17

Б. Основы зонной теории.

А).Необходимость в зонной теории.

В чем прелести зонной теории для твердых тел и приборов на их основе? - Она позволяет достоверно описать результаты и динамику процессов взаимодействия микрочастиц в твердом теле. Более того, очень часто процесс анализа она позволяет свести к «квазиклассике» и анализировать процессы в привычных для нас рамках корпускулярных представлений. А что же классическая физика? – Она, хотя и наглядно, но неадекватно отражает даже процессы переноса заряда в твердых телах. Действительно:

Пусть есть твердый металлический стержень к концам которого приложена разность потенциалов,V. Тогда, если бы электроны двигались в стержне совершенно свободно, то достигали бы положительного конца стержня с кинетической энергиейeVи скоростью. Однако из-за столкновений с остовами решетки (ионами) электроны рассеиваются. В предположении полной потери слагающей скорости в направлении движения ( поля) – будем считать что углы рассеяния равновероятны во всех направлениях, и при обозначении временного интервала между процессами столкновения через , в конце периода приобретенная скорость электроном равнаее среднее значение в 2 раза меньше. Так как по определению плотность тока заряженных частиц есть произведение концентрации на заряд частицы и на ее скорость, а удельная проводимость равна отношению плотности тока к напряженности электрического поля, то, в классической физике (для переноса заряда в металлах):

Однако, попытки использования результатов в применении к реальным объектам, даже с размерами далеко не «квантовыми» показали их некорректность (особенно при проводимости в области низких температур, при расчетах электронной теплоемкости , и т.д.).

Частично положение дел было поправлено Зоммерфельдом. Он, вскоре после опубликования Паули известного принципа на запрет нахождения частиц с нецелым спином в одном квантовом состоянии и появлении на его основе статистики Ферми – Дирака, предложил внести в рассуждения Друде маленькую поправочку – использовать статистику Ферми и полагать дополнительно, что перенос осуществляется ферми электронами, т.е. электронами с энергиями соответствующими уровню Ферми. Тогда формула Друде переходит в формулу описывающую проводимость по Зоммерфельду:

. Такое описание достаточно хорошо соответствует реальности для металлических макрообъектов. Однако, при описаниях процессов переноса зарядов в полупроводниках и диэлектрика результаты отличаются от реальных иногда в десятки раз.

Таким образом, недостаточно оказалось поменять классическую статистику на квантовую, - при описании процессов в твердом теле оказались затребованы представления квантовой теории.

Б. Основные понятия зонной теории (определения, постулаты и гипотезы).

Волна де Бройля(волна вещества, фазовая волна), - плоская монохроматическая волна распространяющаяся в направлении волнового вектораkи связанная с частицей движущенйся в свободном пространстве.

Гипотеза де Бройля .

Обычно, с движением связывают перенос энергии либо вещества в пространстве:

Гипотеза Эйнштейна - полная энергия частицы: собственная энергия частицы:E=m_o c².

Гипотеза Планка (она следует также и из гипотезы Эйнштейна: динамическая энергия,E_кин=с.p=).

(заметим, =с/).

Вероятность обнаружения частиц в пространстве, в элементе объема dV:

. Т.е. ввели волну в комплексном виде. В оптике, мы если и вводили параметры волны в комплексном виде, то физический смысл присвоивали только ее действительной части.

А будет ли волна в комплексной форме обладать теми же свойствами – интерференцией , например?

Интерференция. Пусть есть две волны:

т.е. вероятность обнаружить частицу в точке rсодержит интерференционный член.

Заметим, при анализе интерференции мы использовали нормировочные соотношения: по физическому смыслу .

Волновая функция произвольно движущейся частицы (движение в силовых полях и нормировка):

Такая волновая функция – уже не плоская монохроматическая волна.- Она может уже быть представлена набором монохроматических функций,- набор параметров их будет меняться в пространстве и во времени ( пространство не свободно от силовых полей).Такой набор из монохроматических функций называется волновым пакетом.

Частица представляется им так:

(x,t)=k=. Этот волновой пакет при фиксированном времениtдаст на осиxобразование в виде колокола – корпускула:

Во времени он будет дрейфовать. -