Курсовой 11 вариант Литовченко / Отчёт по Курсовому Литовченко 11 вариант

Математическая модель нагрева металла 3-х зонной методической печи

1. Постановка задачи

Определить распределение температуры нагреваемого металла в 3-х зонной методической проходной печи. Распределение температуры нагреваемого металла, описывается уравнением:

где - распределение температуры металла в проходной печи;

Начальная температура металла на входе в 1 – ую зону печи равна

Начальная температура металла на входе во 2 – ую зону печи равна температуре на выходе из 1 – ой зоны, а начальная температура на входе в 3 –ю зону печи равна температуре на выходе из 2 – ой зоны

Распределение температуры T_n() по длине методической печи в моменты времени в 1-ой зоне задано таблицей:

	0	0,96
Tn()	800	1100

T_n() = T_n() + (T_n()-T_n())*(-)/(-)

= x/(v*3600) v = 0,00445 0 ≤ x ≤ 15,4

Распределение температуры T_n() по длине методической печи в моменты времени во 2-ой зоне задано таблицей:

	0,96	3,10
Tn()	1100	1400

T_n() = T_n() + (T_n()-T_n())*(-)/(-) = x/(v*3600) v = 0,00445 15,4 ≤ x ≤ 49,6

Распределение температуры T_n() по длине методической печи в моменты времени в 3-ей зоне задано таблицей:

	3,10	3,81
Tn()	1400	1200

T_n() = T_n() + (T_n()-T_n())*(-)/(-)

= x/(v*3600) v = 0,00445 49,6 ≤ x ≤ 61,0

Общий расход топлива G вычисляется по формуле:

T_max – максимальная температура в печи, град. С,

c – теплоемкость металла, Дж/(кг*град. С),

R – калорийность (или теплота сгорания) топлива, Дж/кг,

- температурный коэффициент полезного использования топлива.

2. Описание алгоритма:

Решаем задачу Коши методом Рунге-Кутта для каждой зоны отдельно, причем полученная температура на выходе из 1 – ой зоны является входной температурой металла для 2 – ой зоны и т.д.. На выходе из методической печи мы получим конечную температуру металла Tm(L).

Для решения уравнения по методу Рунге-Кутта длину каждой зоны делим на 50 частей, получаем дискретные точки x_i+1 = x_i + h, x₀ = 0 (i = 0, 1, …, 39) вычисляем функцию T_m(x_i) по формуле Рунге-Кутта:

Tm(i+1) = Tm[i]+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

k1 = h*(Tn(x) - Tm[i]);

k2 = h*(Tn(x+h/2)-(Tm[i] + k1/2));

k3 = h*(Tn(x+h/2)-(Tm[i] + k2/2));

k4 = h*(Tn(x+h)-Tm[i] + k3);

Методом трапеций определяем расход топлива в методической печи.

Расход топлива определяется формулой (4).

Метод трапеций – метод, позволяющий приближенно вычислить определенный интеграл:

Если функция непрерывна на отрезке . Разобьем отрезок интегрирования на равных частей длиной каждая. Заменим функцию на каждом из участков , отрезком прямой проходящей через точки , , . Тогда определенный интеграл можно представить как сумму площадей трапеций с основаниями , и высотой.

3. Решение задачи в среде C#

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;

namespace CourseWork

{

class Program

{

static public double tau(double x)

{

return x / (3600 * 0.00445);

}

static public double T1(double t)

{

return 800 + ((1100 - 800) / (0.96 - 0)) * (t - 0);

}

static public double T2(double t)

{

return 1100 + ((1400 - 1100) / (3.10 - 0.96)) * (t - 0.96);

}

static public double T3(double t)

{

return 1400 + ((1200 - 1400) / (3.81 - 3.10)) * (t - 3.10);

}

public delegate double function(double x, double y);

static public double F1(double t, double y)

{

return T1(t) - y;

}

static public double F2(double t, double y)

{

return T2(t) - y;

}

static public double F3(double t, double y)

{

return T3(t) - y;

}

static public double[] RungeKutta(function f, double fa, double a, double b, int n)

{

double h = (b - a) / (n - 1);

double[] res = new double[n + 1];

res[0] = fa;

for (int i = 1; i <= n; ++i)

{

double x = a + (i - 1) * h,

y = res[i - 1];

double k1 = h * f(x, y),

k2 = h * f(x + h / 2, y + h * k1 / 2),

k3 = h * f(x + h / 2, y + h * k2 / 2),

k4 = h * f(x + h, y + h * k3);

double D = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6;

res[i] = res[i - 1] + D;

}

return res;

}

static public double Tr(double[] f, double a, double b, int n)

{

int m = f.Length;

double result = (f[0] + f[m - 1]) / 2;

for (int j = 1; j < m - 1; j++)

{

result += f[j];

}

result *= (b - a) / n;

return result;

}

static void Main(string[] args)

{

double t1 = tau(0),

t2 = tau(15.4),

t3 = tau(49.6),

t4 = tau(61.0);

int n = 50;

double[] z1 = RungeKutta(F1, 20, t1, t2, n);

double[] z2 = RungeKutta(F2, z1[z1.Length - 1], t2, t3, n);

double[] z3 = RungeKutta(F3, z2[z2.Length - 1], t3, t4, n);

double[] G1 = new double[n];

double[] G2 = new double[n];

double[] G3 = new double[n];

for (int i = 0; i < n; ++i)

{

double s1 = (t2 - t1) / (n - 1);

double s2 = (t3 - t2) / (n - 1);

double s3 = (t4 - t3) / (n - 1);

G1[i] = (T1(t1 + i * s1) - z1[i]) / (1400 - z1[i]);

G2[i] = (T2(t2 + i * s2) - z2[i]) / (1400 - z2[i]);

G3[i] = (T3(t3 + i * s3) - z3[i]) / (1400 - z3[i]);

}

double G = (1400 * 0.7 * 3600 * 0.00445) / (0.8 * 20.9 * Math.Pow(10, 6)) * (Tr(G1, t1, t2, n) + Tr(G2, t2, t3, n) + Tr(G3, t3, t4, n));

Console.WriteLine(" РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР МЕТАЛЛА ПО ЗОНАМ ПЕЧИ ");

Console.WriteLine();

Console.WriteLine(" ЗОНА 1 ЗОНА 2 ЗОНА 3 ");

Console.WriteLine();

Console.WriteLine(" Рас-ние Температура Рас-ние Температура Рас-ние Температура ");

Console.WriteLine(" от входа металла от входа металла от входа металла ");

Console.WriteLine();

for (int i = 0; i < n; ++i)

{

double x1 = 0,

x2 = 15.9,

x3 = 49.6,

x4 = 61.0;

Console.WriteLine(" {0,5:f2} {1,10:f3} {2,5:f2} {3,10:f3} {4,5:f2} {5,10:f3} ",

x1 + i * (x2 - x1) / n, z1[i],

x2 + i * (x3 - x2) / n, z2[i],

x3 + i * (x4 - x3) / n, z3[i]);

}

Console.WriteLine();

Console.WriteLine("РАСХОД ТОПЛИВА: G = {0:f6}", G);

Console.ReadKey();

}

}

}

Распределение температур по зонам печи.

4. Решение задачи в среде MathCAD

Первая Зона

Вторая Зона

Третья Зона

Расчет расхода топлива