al09
.pdf
|
|
|
|
33 |
(L ′ I L ′′)Í L ′ , то L ′ + (L ′ I L ′′)= L ′ |
|
|
||
и (9.35) примет вид |
|
|
|
|
L = L ′ + L ′′ = L ′ + M . |
|
|
(9.36) |
|
Покажем, что L ′ + M |
- прямая сумма. |
Для этого рассмот- |
||
рим произвольный вектор |
z ÎL ′ I M . Ясно, |
что если |
z ÎL ′ I M , |
|
то z Î L ′ и z ÎM Í L ′′ , а тогда z ÎL ′ I L ′′ и далее |
z Î(L ′ I L ′′)I M . |
|||
Но из (9.34) следует, что |
(L ′ I L ′′)I M = q , |
т.е. |
z = θ , |
а значит |
L ′ I M = {q} и (9.44) примет вид |
|
|
|
|
L = L ′ + L ′′ = L ′ Å M . |
|
|
(9.37) |
|
Из (9.37) сразу следует, что |
|
|
|
|
dim(L ′ + L ′′)= dim(L ′ Å M )= dim L ′ + dim M . |
(9.38) |
|||
С другой стороны |
|
|
|
|
L ′′ = (L ′ I L ′′)Å M
и
dim L ′′ = dim(L ′ I L ′′)+ dim M
откуда
dim M = dim L ′′ - dim(L ′ I L ′′).
Подставляя это значение в (9.38) окончательно получим
|
|
dim L = dim L ′ + dim L ′′ - dim(L ′ I L ′′). |
(9.39) |
||||||||||||||||
Пример. |
Найти размерность и базис суммы и пересечения линей- |
||||||||||||||||||
ных подпространств |
P |
|
и Q в пространстве L4 |
натянутых на |
|||||||||||||||
системы векторов |
a1 = (1 |
|
2 |
3)T , |
a2 = (0 |
|
1 1)T , |
a3 = (1 |
1 2)T , |
||||||||||
b1 = (4 3 |
1)T , |
b2 = (1 |
1 |
|
0)T , |
b3 = (5 |
3 |
|
2)T соответственно. |
||||||||||
Решение. |
Составим системы уравнений, |
определяющие ли- |
|||||||||||||||||
нейные оболочки подпространств |
P |
и Q : |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
æ1 0 |
1 |
|
x1 |
ö æ |
1 |
0 1 |
|
|
|
x1 |
|
ö |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
|
1 |
|
x2 |
÷ |
ç |
|
1 |
-1 |
|
x2 - 2x1 |
÷ |
|
|||||
|
ç2 1 |
|
÷ |
~ ç0 |
|
÷ |
|
||||||||||||
|
ç |
|
2 |
|
x |
3 |
÷ |
ç |
0 |
0 0 |
|
x |
3 |
- x |
2 |
1 |
÷ . |
|
|
|
ç3 1 |
|
|
÷ ç |
|
|
|
- x |
÷ |
|
|||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
34
Подпространство P задано уравнением x1 + x2 - x3 = 0 ,
dim P = 2 , векторы |
a1,a2 |
образуют в нём базис. |
|
|
|||||||||||||||
æ |
4 |
1 |
5 |
|
x1 |
ö æ |
1 |
0 |
2 |
|
|
x3 |
|
ö |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
ç |
|
1 |
3 |
|
x2 |
÷ |
ç |
|
1 |
- 3 |
|
x2 - 3x3 |
|
÷ |
|||||
ç3 |
|
÷ |
~ ç0 |
|
|
÷ |
|||||||||||||
ç |
1 |
0 |
2 |
|
x |
3 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
x |
1 |
- x |
2 |
- x |
3 |
÷ . |
|
ç |
|
|
÷ ç |
|
|
|
÷ |
||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подпространство Q задано уравнением |
|
x1 - x2 - x3 = 0 , |
|||||||||||||||||
dimQ = 2 , векторы |
b1,b2 |
|
образуют в нём базис. |
|
|
||||||||||||||
Найдём теперь размерность и базис P + Q . Для этого соста-
вим матрицу из базисных столбцов этих подпространств и упро- стим её:
æ |
1 |
0 |
4 |
1ö æ |
1 |
0 |
4 |
1ö |
||
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
2 |
1 |
3 |
1 |
÷ |
~ ç |
0 |
1 |
1 |
1÷ . |
ç |
3 |
1 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
3 |
÷ |
è |
ø è |
1ø |
||||||||
Ранг упрощенной матрицы равен трём и dim(P + Q)= 3 . В качестве базисных столбцов суммы подпространств P + Q мож- но взять векторы a1,a2 ,b1 .
Пересечение P I Q задаётся объединением систем уравне- ний, определяющих их линейные оболочки:
x1 + x2 - x3 = 0 ,
x1 - x2 - x3 = 0 .
Ранг данной системы равен двум и мы можем найти одно фундаментальное решение c = (1 0 1)T образующее базис в
P I Q .
dim(P I Q)= dim P + dimQ - dim(P + Q)=1.