al09

13

.............................................. ,

fm = exm = x1m e1 + x2m e2 + ... + xnmen

ииз координатных столбцов xi можно составить матрицу ξ раз-

мера n × m ,

ранг которой не может превышать n . Поэтому столбцы такой матрицы будут линейно зависимы, а значит будут линейно зави-

симы и сами векторы fi .

ТЕОРЕМА 9.1. Если в векторном пространстве L есть базис из n векторов, то и любой другой базис в L будет состоять из n векторов.

Определение 9.6. Векторное пространство L в котором существу- ет базис e1, e2,..., en , состоящий из n векторов, называется n -мер-

ным, а число n - размерностью векторного пространства L , что

записывается как

dim L = n .

Замечание. Размерность нулевого пространства L = {q} равна

нулю.

Определение 9.7. Векторное пространство называется бесконеч- но мерным, если для любого целого числа N > 0 в нём найдётся линейно независимая система состоящая из N векторов.

Пример. Вновь рассмотрим пространство L непрерывных на от- резке [a,b] функций (пример 5, п. 9.1).

14

Покажем, что степенные функции

1, t,t 2 ,..., t N −1 ,

рассматриваемые как элементы пространства L , линейно независимы,

для чего составим произвольную их линейную комбинацию

p(t)= α0 + α1t + α2t 2 + ... + αN −1t N −1 ,

которая, очевидно, есть многочлен степени меньше чем N . Известно, что всякий многочлен с отличными от нуля коэф-

фициентами имеет лишь конечное число корней. Поэтому p(t)≡ 0

тогда и только тогда, когда

α0 = α1 = α2 = ... = αN −1 = 0 .

Таким образом мы установили, что элементы векторного пространства 1, t,t 2 ,..., t N −1 непрерывных на [a,b] функций линей- но независимы. А так как на число N нет никаких ограничений, рассматриваемое пространство является бесконечномерным.

В ненулевом конечномерном пространстве существует бес- конечно много базисов.

Предложение 9.9. В n -мерном векторном пространстве каждая упорядоченная линейно независимая система из n векторов явля- ется базисом.

ложением 9.8 система векторов

y ,x1, x 2,..., x n

линейно зависима и найдутся такие коэффициенты, что αy + α1x1 + α2 x2 + ... + αn xn = θ ,

причём a ¹ 0 , иначе система векторов x1,x 2 ,..., x n была бы (пред- ложение 9.2) линейно зависимой.

Предложение 9.10. В n -мерном векторном пространстве L n каж- дую упорядоченную линейно независимую систему из k < n векто- ров можно дополнить до базиса.

15

Это вытекает из того, что к системе линейно независимых век- торов x1,x 2 ,..., x k можно добавить ещё один вектор x k +1 , который по ней не раскладывается, так как в этом случае система x1,x 2 ,..., x k бала бы базисом. Если k +1 < n , мы можем повторяя операцию добавле- ния векторов в конце концов получить систему из n линейно незави- симых векторов. В частности, до базиса можно дополнить любой ненулевой вектор.

9.5.Замена базиса

Известно, что базис является частью системы координат (п.4.4), которая в свою очередь входит в понятие системы отсчё- та. При решении геометрических задач, средствами аналитичес-

кой геометрии важную роль играет правильный выбор системы координат, а при решении физических задач такую же важную роль играет правильный выбор системы отсчёта, причём, в обе- их случаях все сводится к выбору того или иного базиса.

9.5.1. Формулы перехода к новому базису

Пусть в линейном пространстве L n заданы два базиса

16

Так как мы договорились записывать векторы базиса в виде строки, а координаты вектора в виде столбца, мы можем запи-

сать (9.5) так

столбцы которой есть координаты векторов ei′ в базисе e , будем называть матрицей перехода от базиса e к базису e′ . Линейная независимость векторов базиса e′ = (e1′,e2′,...,en′ ) равносильна ли- нейной независимости столбцов матрицы S , т.е. определитель

матрицы S отличен от нуля

Это и есть единственное условие, налагаемое на матрицу пе- рехода от одного базиса к другому. В остальном коэффициенты

aij′ произвольны и мы можем сформулировать

Предложение 9.11. Пусть задан базис e1,e2 ,...,en . Каждая квад-

ратная матрица S порядка n с S ¹ 0 есть матрица перехода от базиса e1,e2 ,...,en к некоторому новому базису e1′,e2′,...,en′ .

Это следует из того, что при S ¹ 0 столбцы матрицы S (9.10)

17

линейно независимы и являются координатными столбцами n ли- нейно независимых векторов, которые и составляют базис e1′,e2′,...,en′ .

Так как матрица S невырождена она имеет обратную матрицу S−1 и мы легко можем получить формулу обратного перехода от ба- зиса e′ к базису e умножив (9.8) справа на S−1

Отметим один частный случай перехода к новому базису e′ , когда каждый новый базисный вектор ei′ совпадает со старым ба- зисным вектором ei , умноженным на некоторое число li ¹ 0 , т.е.

e1′ = l1e1 ,

e2′ = l2e2 ,

............ ,

en′ = lnen .

Вэтом случае

базис переходит сам в себя.

9.5.2. Формулы последовательного перехода к новому базису

Для любого вектора x Î L n имеют место разложения

..................................... ,

xn′ = a1n′x1 + a2n′x2 + ... + ann′xn .

Сравнивая расположение коэффициентов в (9.24) с матри- цей (9.22) мы сразу видим, что коэффициенты в (9.34) образуют

матрицу S−1 и мы можем записать

Из (9.25) с учётом, что S−1 ¹ 0 немедленно следует

Пример. На плоскости заданы два базиса e и e′ . Векторы второ- го базиса имеют в первом базисе координаты (2,5) и (1,3) соот-

ветственно.

1. Найти координаты вектора x в базисе e , если известны его координаты (x1′ ,x2′ ) в базисе e′ .

22

и L3 . Поскольку мы живём в трёхмерном мире, мы можем наклады-

вать довольно жесткие условия на определение ориентации линей- ного пространства размерности не более трёх.

При решении же вопроса об ориентации вещественного про- странства произвольной размерности, мы поступим следующим

образом: выберем в линейном пространстве L n произвольный базис e = (e1,e2 ,...,en ) и рассмотрим множество квадратных мат-

риц S , порядка n , у которых S ¹ 0 .

Как нам известно (предложение 9.11), всякая квадратная невырожденная матрица порядка n есть матрица перехода от

E + (f )Í E + (e).