al09

3

9. Линейные пространства

Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества на число из некоторого поля K . Линейные операции

для матриц фиксированного размера и векторов на плоскости или в пространстве мы рассматривали в первом семестре (п.п. 1.3, 4.1). Вскоре оказалось, что многие другие математические множества подчиняются линейным операциям, например, мно-

жество решений однородной системы линейных уравнений (п. 3.7,

предложение 3.6). При этом ни сами объекты не похожи на сво- бодные векторы, ни линейные операции над этими объектами не похожи на линейные операции над векторами.

Однако, во всех приведённых примерах есть нечто общее, позволяющее изучать линейные операции абстрактно, отвлека- ясь от конкретной природы изучаемых объектов.

Прежде всего, во всех приведённых примерах линейные опе- рации над элементами данного множества дают в результате эле- менты того же множества: складывая элементы множества или умножая их на число, мы вновь получаем элементы того же мно- жества.

Таким образом линейные операции, различные для разных мно- жеств, имеют ряд общих свойств, что позволяет изучать линей- ные операции вообще.

Изучая множества, с данными в них линейными операция- ми, их объединяют общим понятием линейного (векторного) про-

странства. Название линейного пространства “векторным” есть дань исторической традиции, так как эти понятия были первона- чально установлены для векторов на плоскости (в пространстве), которые и представляют собой первый пример линейного про-

странства с внутренним законом сложения векторов и внешним законом умножения вектора на число. В силу этого элементы ли-

нейных пространств принято называть векторами, а сами линей- ные пространства - векторными.

4

Определение линейного пространства обобщает определение совокупности всех векторов. Это обобщение производится, во-пер- вых, путём отвлечения от конкретной природы элементов множества с сохранением свойств действий над ними, во-вторых, путём отвле- чения от конкретной природы допустимых множителей.

9.1.Определение, аксиомы и примеры линейного пространства

Пусть имеется множество L , состоящее из каких угодно эле-

ментов

a, b, c,..., x, y, z,... ,

которые мы будем далее условно называть векторами и поэтому стрелочку над элементом рисовать не будем.

Вместе с векторами множества L мы будем рассматривать

числа

α,β, γ,..., ω,... ,

образующие поле K , сводящееся к полю R для вещественных чисел и к полю C для комплексных чисел.

Определение 9.1. Линейным пространством L над полем K , на- зывается множество L рассматриваемое вместе с заданными в нём операциями сложения и умножения на число, удовлетворя- ющее следующим аксиомам:

1o . Для любых векторов a, b L выполняется свойство коммута-

тивности сложения

a + b = b + a .

2o . Для любых векторов a, b, c L выполняется свойство ассоциа-

6o . Для любого вектора a Î L и любых чисел α,β K выполняет-

ся свойство ассоциативности умножения на число a(ba)= (ab)a .

7o . Для любого вектора a Î L и любых чисел a,b Î K выполняет-

ся свойство

(a + b)× a = aa + ba .

8o . Для любых векторов a, b Î L и любого числа a Î K выполня-

ется свойство

a(a + b)= aa + ab .

Замечание. Если K = R - поле вещественных чисел, тогда L есть вещественное линейное пространство. Если K = C - поле комп- лексных чисел, то L есть комплексное линейное пространство.

Примеры линейных пространств.

1. Множество векторов на плоскости и множество векто- ров в пространстве образуют линейные пространства (предло- жение 4.1).

2. Множество матриц Mm×n фиксированного размера образу-

6

ют линейное пространство (п. 1.3).

3. Нулевой элемент θ сам по себе образует линейное про- странство, так как, очевидно, выполнены все восемь аксиом ли- нейного пространства.

4. Координатное пространство Rn . Пусть элементами L

являются упорядоченные наборы действительных чисел, по n чисел в каждом наборе.

Упорядоченность говорит о том, что числа в наборах зану- мерованы, т.е.

x = (x1,x 2 ,..., x n ), y = (y1, y2 ,..., yn ).

Определим операцию сложения элементов как

x + y = (x1,x 2 ,...,x n )+ (y1, y2,..., yn )= (x1 + y1,x 2 + y2 ,...,x n + yn )= = (z1,z2,...,zn )= z ,

где zi = x i + yi , i = 1,2,...,n .

Операцию умножения элемента x L на число α R опре-

делим как

αx = (αx1,αx 2 ,...,αx n )= (y1, y2 ,..., yn )= y ,

где yi = αx i .

Под нулевым элементом θ будем понимать набор из n нулей θ = (0,0,...,0).

Элемент

− x = (− x1,−x 2,...,−x n )

будет противоположен элементу x = (x1,x 2 ,..., x n ) .

Ясно, что будут выполнены все восемь аксиом линейного пространства и множество упорядоченных наборов L будет дей- ствительным линейным пространством - координатным про-

странством Rn .

5. Пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций.

Пусть L - множество всех функций непрерывных на отрезке [a,b] и τ [a,b].

Пусть далее x = f (τ) и y = g(τ) есть элементы L .

7

Два элемента x и y равны если f (τ)= g(τ) на всём отрезке [a,b].

Определим операцию сложения как

x + y = f (τ)+ g(τ)= h(τ)= z ,

операцию умножения на число как

αx = αf (τ)= g(τ)= y .

Под нулевым элементом θ будем понимать функцию θ = Θ(τ)= 0

на всём отрезке [a,b].

Элемент − x = − f (τ) будем считать противоположным эле- менту x = f (τ).

Легко проверить, что будут выполнены все восемь аксиом ли- нейного пространства и множество L мы можем рассматривать как

линейное пространство функций непрерывных на отрезке [a,b].

6. Пространство многочленов степени меньше n . Пусть

p(t)= a0 + a1t + a2t 2 + ... + an−1t n−1 и q(t)= b0 + b1t + b2t 2 + ... + bn−1t n−1

многочлены степени меньше n с коэффициентами из K .

Определим операцию сложения как

p(t)+ q(t)= (a0 + a1t + a2t 2 +... + an−1t n−1 )+ (b0 + b1t + b2t 2 +... + bn−1t n−1 )= = (a0 + b0 )+ (a1 + b1 )t + (a2 + b2 )t 2 +... + (an−1 + bn−1 )t n−1 =

8

членов степени меньше n образует линейное пространство.

7. Множество решений однородной (приведённой) системы линейных уравнений образует линейное пространство (предложе-

ние 3.6).

9.2.Элементарные следствия из аксиом линейного пространства

Независимо от частных особенностей конкретных линейных пространств, имеют место следующие следствия:

Следствие 9.1. В каждом линейном пространстве имеется только один нулевой элемент θ .

Пусть x + y = θ (аксиома 4o ), тогда с помощью аксиом 2o ¸ 5o и аксиомы 7o получим

0 × x = 0 × x + q = 0 × x + (x + y)= (0 +1)x + y = x + y = q .

Следствие 9.4. Произведение любого элемента x L на число (-1) равно элементу, противоположному к x .

На основании аксиом 3o , 5o и 7o имеем

9

x + (-1)x = (1-1)x = 0 × x = q

или

(-1)x = -x .

Следствие 9.5. Произведение нулевого элемента θ на любое чис-

a ×q = a × (0 × x )= (a ×0)× x = 0 × x = q .

Следствие 9.6. Для любых двух элементов a, b L существует раз- ность, притом, только одна.

x = b + (-1)× a

На основании аксиом 2o , 3o , 5o , 7o и следствия 9.3 имеем x + a = b + (-1)× a + a = b + (-1+1)× a = b + 0 × a = b ,

т.е. x = b − a .

Или полагая

x + a = b

на основании аксиом 2o , 3o , 5o , 7o и следствия 9.3 имеем

x= x + q = x + (1-1)× a = x + a + (-1)× a = b + (-1)× a .

9.3.Линейная зависимость

Вопросы линейной зависимости свободных векторов, матриц, решений однородной системы линейных уравнений мы уже рассмат- ривали в первом семестре и мы можем ожидать, что элементы про- извольного линейного пространства будут вести себя по отноше- нию к линейной зависимости или независимости так же.

Пусть нам дано некоторое число векторов (будем иметь в виду условность выражения “вектор”) линейного пространства L

a, b, c,..., q Î L

и произвольный набор чисел

α,β, γ,..., ω K .