3. Линейно неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Рассмотрим теперь основные свойства решений линейно неоднородного дифференциального уравнения второго порядка 1:

y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)

имеет место

Теорема 15,7. Общее решение уравнения 1 есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Доказательство.Пусть у*(х)- частное решение уравнения 1 а У(х)= С₁у₁(х)+С₂у₂(х) – общее решение соответствующего однородного уравнения 2 где С₁С₂ - произвольные постоянные. Покажем что функция

у=у*(х)+У(х) (10)

является решением уравнения 1. Для этого найдемy’=y*’(x)+Y’(x) ,y’’=y*’’(x)+Y’’(x) и подставляя их в уравнение 1:

отсюда следует что функция у=у*(х)+У(х) действительно яаляется решением уравнения 1.

Покажем теперь что функция 10 является общим решением уравнения 1. Для этого возьмем решение у уравнения 1 и рассмотрим разность у-у*(х). Оказывается эта разность является решением однородного уравнения 2. Действительно,

Это значит что разность у-у*(х) может быть записана в виде

Где С⁰₁ и С⁰₂ – определенные значения постоянных С₁С₂. Отсюда заключаем что любое решение у уравнения 1 получается из решения 10 при соответствующем подборе произвольных постоянных С₁С₂ в решении У(х) т.е. решение 10 является общим решением уравнения 1.

Таким образом чтобы найти общее решение линейно неоднородного уравнения необходимо знать общее решение соответствующего однородного уравнения и хотя бы одно его частное решение. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Поэтому мы покажем как можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть у=С₁у₁(х)+ С₂у₂(х) – общее решение однородного уравнения. Будем искать частное решение неоднородного уравнения 1 в виде :

22