2. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка.

Отметим три частных вида уравнения 1 когда решение его с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование уравнения 1 называется понижением порядка. Рассмотрим эти частные случаи.

1*. Уравнение вида y’’=f(x). Уравнение не содержит у и первой производной. Введем новую функциюz(x)=y’. Тогдаz’(x)=y’’, уравнение превращается в уравнение первого порядка:z’(x)=f(x)с искомой функциейz(x). Решая находимz(x)=f(x)dx+C₁ или, так какz(x)=y’ ,y’=f(x)dx+C_{1 .} Отсюда, интегрируя еще раз, получим искомое решение:

у=[f(x)dx]dx+ C₁x+ C₂

где C₁ иC₂ – произвольные постоянные.

Пример 1.найти общее решение уравненияy’’=x.

Решение.

Полагая y’=z(x0 получаем уравнение первого порядкаz’(x)=x. Интегрируя его находимz(x)=x²/2+ C₁. Заменяяz(x) наy’ и интегрируя еще раз находим искомое общее решение:

y=[ x²/2+ C₁]dx+ C₂ = x³/6+ C₁x+ C₂.

2*. Уравнение видаy’’=f(x,y’). Уравнение не содержит у. Положим, как и в предыдущем случаеz(x)=y’, тогдаz’(x)=y’’, и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительноz(x):z’=f(x,z). Решив его находимz(x)= или так какz(x)=y’,y’=(x,C₁). Отсюда интегрируя еще один раз получим искомое решение:

y= (x,C₁)dx+ C₂.

Где C₁ и C₂произвольные постоянные.

Пример 2.Найти общее решение уравненияy’’ – 3y’/x=x.

Решение.положивz(x)=y’ иz’(x)=y’’, получим линейное уравнение первого порядкаz’-3z/x=x. Решив его найдемz(x)= C₁x³-x². Тогдаy’= C₁x³-x²и у= C₁x⁶/4-x³/3+ C_2.

3*. Уравнение видаy’’=f(y,y’). Уравнение не содержит х. В этом случае вводим новую функциюz(у), полагаяz=y’ тогда:

подставим в уравнение выражение y’ ,y’’ получим уравнение первого порядка относительноzкак функции

решив его находимz=(x,C₁) или так какz=dy/dx,dy/dx=(x,C₁). Отсюдаdy/(x,C₁)=dx. Получили уравнение с разделяющимися переменными из которых находим общее решение данного уравнения:

где C₁ и C₂произвольные постоянные.

Пример 3.Найти общее решение уравнения

yy’’ –2y’²=0

Решение.Полагаяy’=z(y),y’’=zdz/dy, получимzydz/dy– 2z²=0. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к видуdz/z=2dy/yи интегрируя, получимln|z|=2ln|y|+ln|C₁| ,z=C₁y². Вспоминая чтоz=dy/dx, найдемdy/y²=C₁dxоткуда приходим к искомому решению:

-1/у= C₁х+C₂, или у= -1/(C₁х+C₂).

Следует заметить что при сокращении на zбыло потеряно решение уравненияz=y’=0,y=C=const. В данном случае оно содержится в общем решении так как получается из него приC₁=0.

3. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Здесь мы ограничимся только основными определениями и общими замечаниями относящимися к дифференциальным уравнениям n-го порядка.

Дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид

F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾)=0,

Или если они не разрешены относительно старшей производной:

y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y^(n-1)) (4)

решив уравнение 4 как и для уравнения 1-го и 2-го порядков называется всякая функция у=(х) которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Теорема существования и единственности решения уравнения 4 аналогична соответствующим теоремам приведенным ранее для случаев 1-го и 2-го порядков.

Общее решение уравнения 4 зависит от х и nпроизвольных постоянных и может быть записана в виде

у=(х,С1,С2,…, С_n)

решения получающиеся из общего при определенных значениях постоянных С1,С2,…, С_nназываются частным решением уравнения 4. Чтобы выделить частное решение из общего решения уравнения 4 необходимо знать начальные условия:

отыскание решения уравнения 4 удовлетворяющего заданным начальным условиям 5 называется решением задачи Коши для этого уравнения.

Простейшим уравнением 4 являеся уравнение в котором правая часть зависит только от х т.е. уравнение вида

y⁽ⁿ⁾=f(x) (6).

Это уравнение легко решается. Действительно производя последовательно nинтегрирований получим

…………………………………………………………………………………. разрыв

страницы

Решение.Последовательно интегрируя, находимy’’=e^x+C₁,y’=e^x+C₁x+ C₂. Интегрируя еще раз получим общее решение данного уравнения

у= C₁x²/2+ C₂x+C₃.

Где C₁ C₂ C₃ произвольные постоянные.

Подставляя в выражение для y,y’y’’ начальные условия получим 0=1+C₃,0=1+C₂, 1=1+C₁, токуда находимC₁=0,C₂= -1,C₃= -1 и искомое частное решение у=e^x- х –1.