Дифференциальные уравнения второго порядка

1. Основные понятия. Определение.Уравнение вида

F(x,y,y’,y’’)=0

Где х – независимая переменная, у – искомая функция, y’ , y’’ – ее производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Обычно изучабт уравнения, которые могут быть записаны в виде, разрешенном относительно второй производной:

y’’=f(x,y,y’). (1)

так же, как и для дифференциального уравнения первого порядка, решением уравнения 1 называется всякая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения также называется интегральной кривой.

Для уравнения второго порядка имеет место теорема существования и единственности решения (теорема Коши), аналогично соответствующей теореме для уравнения первого порядка, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 15.2 (теорема Коши). Если в уравненииy’’=f(x,y,y’) функция F(x,y,y’,y’’) и ее частные производные f’_y(x,y,y’) , f’_y’(x,y,y’) определены и непрерывны в некоторой области G пространства переменных (х,у,y’) то какова бы ни была внутренняя точка (x₀,y₀,y’₀) области G существует единственное решение у=(х) данного уравнения, удовлетворяющее условиям

у= y₀, y’=y’₀ при х= x₀. (2)

Геометрически это означает что через заданную точку (x₀,y₀) плоскости с заданным угловым коэффициентом у’₀касательной проходит единствнная интнгральная кривая.

Условие 2 называются начальными условиями решения и часто записываются в виде

Как и для решения уравнения первого порядка, задачу отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Дадим теперь определения общего и частного решения уравнения 1, удовлетворяющего условиям теоремы Коши.

Функция у=(х,С1,С2), зависящая от х идвух произвольных постоянных С1,С2, называется общим решением уравнения 1 в некоторой областиGесли она является решением уравнения 1 при любых значениях постоянных С1,С2, и если при любых начальных условиях 3 существует единственные значения постоянных С1=С1* С2=С2* такие, что функция у=(х,С1*,С2*) удовлетворяет данным начальным условиям.

Всякая функция у=(х,С1*,С2*) получается из общего решения у=(х,С1,С2) уравнения 1 при определенных значениях постоянных С1=С1* С2=С2* называется частным решением.

Обратимся к примеру. Рассмотрим уравнение y’’=2.

Данное уравнение есть уравнение второго порядка. Так как функции

f(x,y,y’)=2,f’_y(x,y,y’)=0f’_y’ (x,y,y’)=0

определены и непрерывны во всем пространстве (x,y,y’) оно удовлетворяет всем требованиям теоремы Коши.

Общее решение данного уравнения найдем путем его двукратного последовательного интегрирования. Последовательно интегрируя, находим сначала первую производную а затем и общее решение

y=x²+C₁x+ C₂

где C₁ иC₂ – произвольные постоянные. Геометрически общее решение представляет собой семейство парабол, причем так как оно зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую точку плоскости проходит бесконечное множество парабол, имеющих различные касательные. Поэтому для выделения одной параболы из множества помимо точки(x₀,y₀)через которую проходят параболы, задают еще угловой коэффициент у’₀касательной к искомой кривой.

Найдем например, частное решение данного уравнения при начальных условиях

Подставляя эти значения в выражение для общего решенияy=x²+C₁x+C₂и его производнойy’=2x+C₁, получим для определенияC₁ иC₂систему уравнений

Откуда находим C₁= - 1 иC₁=1. Следовательно, искомым частным решением будет

y=x² – x+1

- парабола, проходящая через точку (1,1) с угловым коэффициентом равным единице.