8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого прядка методом Эйлера.

Мы познакомились с несколькими из способов нахождения точных решений дифференциальных уравнений первого порядка. А как быть, если ни один из них не приводит к цели или требует сложных вычислений? В таких случаях прибегают к приближенным методам решений уравнений. Здесь мы познакомимся с простейшими из них, с так называемым методом Эйлера.

Суть этого метода состоит в том, что искомая интегральная кривая, являющаяся графиком частного решения, приближенно заменяется ломанной.

Пусть даны дифференциальное уравнение

y’=f(x,y)

и начальные условия у_х=х0=у_0.Найдем приближенное решение уравнения на отрезке [x₀,b], удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Разобьем отрезок [x₀,b] точкамиx₀<x₁<x₂<…<x_n=bнаnравных частей. Обозначимx₁-x₀=x₂–x₁=…=x_n-x_n-1=х. Через у обозначим приближенное значение искомого решения в точках х_i(i=1,2,3…n). Проведем через точки разбития х_iпрямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

Подставляем значения х₀ иу₀ в правую часть уравненияy’=f(x,y) и вычисляем угловой коэффициентy’=f(х₀,у₀)касательной кривой в точке (х₀,у₀). Для вычисления приближенного значения у₁искомого решения заменяем на отрезке [x₀,х] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х₀,у₀). При этом получаем

у₁,у₀= f (х₀,у₀) (х₁,х₀)

откуда, так как величины х₀ х₁ у₀известны, находим

у₁= у₀+ f (х₀,у₀) (х₁,х₀), или у₁= у₀+ f (х₀,у₀)х

подставляя значения х₁у₁в правую часть уравненияy’=f(x,y),вычисляем угловой коэффициентy’=f(х₁,у₁)касательной к интегральной кривой в точке(х₁,у₁). Далее, заменяя на отрезке [x₁,х₂] интегральную кривую отрезком ее касательной, находим приближенное значение решенияу₂ в точкех₂:

у₂= у₁+ f (х₁,у₁) (х₂,х₁), или у₂= у₁+ f (х₁,у₁)х

В этом равенстве известными величинами являются х₁ х₂ у₁ ау₂ определяется через них.

Аналогично вычисляем

у₃= у₂+ f (х₂,у₂)х

………………….

у_n= у_n-1+ f (х_n-1,у_n-1)х

Таким образом, мы приближенно построили искомую интегральную кривую в виде ломанной и получили приближенные значения у_iискомого решения в точках х_i. При этом значения у_iвычисляются по формуле

у_i= у_i-1+ f (х_i-1,у_i-1)х (i=1,2,3…n) (22)

Формула 22 есть основная расчетная формула метода Эйлера. Ее точность тем выше, чем меньше разность х.

Следует отметить, что степень точности метода Эйлера, вообще говоля невелика. Существует гораздо более точные методы приближенного решения дифференциальных уравнений. С ними можно познакомится в специальных курсах.

Пример 7.Найти приближенное решение уравненияy’=y+xна отрезке [0,1] удовлетворяющее начальным значениямх₀=0 у₀=1 и вычислить у нри х=1

Решение.Разделим отрезок [0,1] на 10 равных частей точками 0:0,1:0,2:…1.

Обозначим через у₁ у₂ у₃ ….у₁₀ приближенные значения решения, которые будем искать по формуле 22. Имеем

у₁=1+(1+0)*0,1=1,1

у₂=1,1+(1,1+0,1)*0,1=1,22

аналогично находятся остальные значения у, причем результаты вычислений удобно расположить в виде таблицы, заполняя последовательно одну строку за другой.

№ измерения	х	у	F(x,y)x
0	0	1	0,1
1	0,1	1,1	0,12
2	0,2	1,22	0,142
3	0,3	1,36	0,1662
4	0,4	1,5282	0,1928
5	0,5	1,721	0,2221
6	0,6	1,9431	0,2543
7	0,7	2,1974	0,2897
8	0,8	2,4871	0,3287
9	0,9	2,8158	0,3715
10	1	3,1873

Третий столбец таблицы содержит приближенные значения у искомого решения данного уравнения на (0,1), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Приближенное значение функции равно 3,1873 при х=1.

Чтобы сравнить приближенный результат с точным, найдем точное решение данного уравнения при тех же начальных условиях. Так как уравнение линейное, то применяем метод вариации постоянной. Вначале находим общее решение однородного уравнения:

dy/dx=y, dy/y=dx, ln|y|=x+ln|C|, y=Ce^x

Варьируем постоянную: y=C(х)e^x , y’=C’(x)e^x +C(x)e^x и, подставляя в данное уравнение, получим

C’(x)e^x +C(x)e^x=C(x)e^x +х,

C’(x)=хe^{- х} , C(x)= -хe^{- х} -e^{- х} +С₁

у=С₁e^x – х – 1

-общее решение данного уравнения. Подставляя вместо х и у начальные условия х₀=0 у₀=1находимС₁=2, и точное решение данного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условияму=2e^x – х - 1. Значение точного решения при х=1 равно у(1)=2(е-1)3,4366. Сравнивая с приближенным значением, видим, что абсолютная ошибка не больше 0,2293.