1 Дискретные случайные величины, их числовые характеристики

1.1 Теоретическое введение

1.1.1 Непосредственный расчет вероятностей  Событием называется эксперимент с двумя возможными исходами («да» или «нет»). Случайным называется такое событие, результат которого нельзя предсказать до проведения эксперимента.  Рассмотрим множество Ω всех возможных, взаимно исключающих друг друга, исходов некоторого испытания (эксперимента). Это множество будем называть пространством элементарных исходов, а сами эти исходы будем рассматривать, как точки ω є Ω. Число исходов, входящих в пространство Ω может быть конечным или бесконечным.  Случайное событие А есть некоторое множество точек пространства Ω, т.е. некоторое подмножество множества Ω. Если при испытании осуществился исход ω є А, то говорят, что произошло событие А. В частности, если А = Ω, то событие называется достоверным, если А = Ø, то событие называется невозможным.  С каждым событием А связывается число р(А) – вероятность события А, отражающее степень объективной возможности наступления этого события. Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю, для всех остальных событий А:    0 < p(A) < 1.  Наиболее просто вероятность находится в классической модели – эксперименте удовлетворяющем двум условиям:  1) множество элементарных исходов конечно Ω = {ω₁, ω₂, ... , ω_N};  2) все исходы испытания равновозможны.  Равновозможность исходов устанавливается либо из соображений симметрии, как при подбрасывании монеты (мы считаем, что герб и решка равновозможны), при бросании игрального кубика (выпадения любого числа очков от 1 до 6 равновозможны), либо из условия тщательного предварительного “перемешивания” исходов, как при розыгрыше лотереи, игре в карты, “Домино” и т. п.  В этом случае полагают, что вероятность любого исхода события А одинакова p_k = P(ω_k ) = 1/N и вероятность любого события А равна

,

(1.1)

где N_A – число исходов, входящих в множество А, или, как обычно говорят, число исходов, благоприятствующих событиюА;   N – общее число возможных исходов.

Пример 1.1. 13 человек рассаживается за круглым столом случайным образом. Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом.  Решение: Пусть Иванов сел на произвольное место за столом. Для Петрова осталось 13 – 1 = 12 мест, N = 12, около Иванова есть только два соседних места, слева и справа, т. е. N_A = 2, поэтому  .

1.1.2 Расчет вероятностей с помощью правил сложения и умножения

Совмещением А·В двух событий А и В называют общую часть множеств исходов, составляющих события А и В (в результате испытания происходят оба события: А и В ). Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события Впри условии осуществления события А. Вероятность совмещения двух событий находится по формуле

P(А·В) =P(A) ·P(B/A).

(1.2)

Вероятность совмещения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Пример 1.2. Студент знает правильный ответ на 20 экзаменационных вопросов из 30. Какова вероятность того, что он:  а) знает ответ на два заданных ему вопроса;  б) не знает ответа на оба заданных ему вопроса?  Решение: Пусть событие А = {студент знает ответ на первый вопрос}, В = {студент знает ответ на второй вопрос}. Р(А) = 20/30. Р(В/А) = 19/29 (из 29 оставшихся вопросов студент знает ответ на 19, так как на один из известных ему вопросов он уже ответил). Тогда Р(А · В) = Р(студент знает два вопроса) = Р(А) · Р(В/А) =   Пусть событие С = {студент не знает ответ на первый вопрос}, D = {студент не знает ответ на второй вопрос}. Р(С) = 10/30. Р(С/D) = 9/29 (из 29 оставшихся вопросов студент не знает ответ на 9, так как на один из вопросов он уже не ответил). Тогда Р(А · В) = Р(студент не знает два вопроса) = Р(А) · Р(В/А) =   Формула (1.2) обобщается для трех событий А, В, С :

P(А · В · C) = P(A) · P(B/A) · P(C/(A · В)).

(1.3)

Пример 1.3. Из колоды в 52 карты случайным образом берут 3 карты. Найти вероятность того, что все три карты – тузы (событие D).  Решение: D = А · В · С, где А = {первая карта – туз}, В = {вторая карта – туз}, С = {третья карта – туз}. В силу равной возможности исходов, обеспеченной перемешиванием карт, здесь можно воспользоваться классической формулой (1.1), как для расчета безусловных, так и для расчета условных вероятностей. Р(А) = 4/52 (в колоде из 52 карт 4 туза), Р(В/А) = 3/51 (осталась 51 карта, среди них – 3 туза), Р(С/(А · В)) = 2/50 (осталось 50 карт, среди них – 2 туза). Тогда по формуле (1.3) Р(D) = Р (три туза) = 4/52 · 3/51 · 2/50 = 0,00018.  Суммой случайных событий А и В называется событие С, соответствующее объединению множеств А и В (С = А + В). В этом случае можно сказать, что произойдет хотя бы одно из событий А и В (или только событие А, или только событие В, или оба вместе).  События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании, т. е. если пересечение множеств А и В пусто. Для несовместных событий А и В

P(А + В) =P(A) +P(B).

(1.4)

Суммой случайных событий А₁, А₂, ... , А_n называется событие, соответствующее объединению множеств А₁, А₂, ... , А_n. Здесь также можно сказать, что суммой событий является событие при котором произойдет хотя бы одно из указанных событий.  Формула (1.4) обобщается для попарно несовместных событий А₁, А₂, ..., А_n:

(1.5)

Пример 1.4. Мишень состоит из центрального круга – “яблочка” и двух концентрических колец. Вероятности попадания в “яблочко” и кольцо соответственно равны 0,2; 0,25; 0,35. Найти вероятность попадания в мишень (событие D).  Решение: Событие А₁ = {попадание в “яблочко”}, А_2,3 = {попадание в одно из колец} попарно несовместны и D = А₁ + А₂+ А₃. По правилу сложения вероятностей Р(А₁ + А₂ + А₃) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) = 0,2 + 0,25 + 0,35 = 0,8.  События А₁, А₂, ..., А_N образуют полную группу, если они попарно несовместны и одно из них обязательно должно произойти при рассматриваемом испытании, т. е. их сумма есть достоверное событие:  А₁ + А₂ + ... + А_N = Ω.  При этом

P(Аi) =P(А1+ ... +АN) = 1.

(1.6)

Два события A и Ā называются противоположными, если они образуют полную группу: A + Ā = Ω (при этом появление одного из них равносильно непоявлению другого). Так как P(A) + P(Ā) = 1, то по вероятности одного из противоположных событий можно находить вероятность другого:

P(A) = 1 –P(Ā),P(Ā) = 1 –P(A).

(1.7)