§9. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределённостей вида и.

Теорема (Г.Ф.А. Лопиталь 1661-1704, И. Бернулли 1667 − 1748). Пусть выполнены условия:

1) ; 2) ; 3) (случай неопределённости вида ). Тогда

−правило Л-Б.

Обратная импликация неверна.

Доказательство. Пусть . Можно считать, чтои. Тогда по теореме Коши, будем иметь, где. Поэтомуправая часть последнего равенства будет стремиться. Следовательно, левая часть равенства, то есть,также будет стремиться к.

То, что обратная импликация неверна, видно из следующего контрпримера.

Контрпример. Пусть . Тогдав то время, как пределне существует.

Замечание 1. Правило Л.-Б. справедливо и для пределов слева.

Замечание 2. Можно доказать, что правило Л-Б применимо и тогда, когда , а также в случае неопределённости вида.

§10. Производные и дифференциалы старшего порядка.

Рекуррентное определение: .Точно так же .

Пример 1.

.

Пример 2. ;

.

Мы видим, что формулы для второй и третьей производных произведения имеют ту же структуру, что и формулы для квадрата суммы, куба суммы.

Упражнение. Доказать с помощью ММИ, что формула для n-й производной произведения устроена так же, как биномиальная формула Ньютона: .Именно:

(правило Лейбница).

Так называемые биномиальные коэффициенты могут вычисляться постепенно с помощью “треугольника Паскаля”, где каждое из этих чисел равно сумме двух, стоящих над ним. Коэффициент может также быть вычислен сразу по формуле . (Б. Паскаль: 1623 − 1662)

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 …………………………………… Треугольник Паскаля

. Если − независимая переменная, то

.

Замечание. Этим объясняется еще одно обозначение для производной второго порядка: (для производнойn-го порядка − ).

Пусть снова . Произведём замену переменной(теперь уже− зависимая переменная). В этом случае

.

Таким образом, запись 2-го дифференциала не является инвариантной относительно замены независимой переменной (тем более, не инвариантна запись дляn-го дифференциала).

§11. Формула Тейлора.

Задача. Дана функция, имеющаяпроизводных в окрестности точки. Подобрать алгебраический многочленстепенитакой, что.

Решение.Это − многочлен, в краткой записи. Многочленназываетсяn-м многочленом Тейлорафункции.

Доказательство.Ясно, что . Далее,

.

Поэтому . Ч. и т. д.

Замечание 1. Из линейной независимости системы степенных функцийследует единственность решения рассматриваемой задачи.

Для того, чтобы понять насколько хорошо многочлен Тейлора приближает исходную функцию, необходимо изучить так наз. остаточный член. Равенство

называют формулой Тейлора с остаточным членом. Изучим величину.

Теорема. Если функцияпринадлежит классу, то есть имеет непрерывные производные прядкана отрезке, то для любого, принадлежащего этому отрезку, существует такое число, заключенное между числамии, что остаточный членможет быть представлен в виде

(остаточный член в форме Лагранжа).

Доказательство.Положим. Тогда, очевидно, будет,. Кроме того,,. Применяя многократно теорему Коши о среднем значении, получим

,

где заключено между числами. Доказательство закончено.

Следствие. При тех же условиях можно утверждать, что

(остаточный член вформе Пеано).

Замечание 2.Если несколько усложнить рассуждения, то можно доказать последнее утверждение при условии, чтосуществует(и, разумеется, производные меньших порядковсуществуют в окрестности этой точки).

Замечание 3. Частный случай формулы Тейлора, когда, принято называтьформулой

Маклорена.

(Б. Тейлор 1685 − 1731; К. Маклорен 1698 −1746).