§4. Таблица производных.

1. Если, то

2. всюду в области определения правой части.

3. ;в частности,.

4. ;в частности,.

5. .

6. ..

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Вывод табличных формул.

1. Если, то, следовательно

2.Ограничимся основным случаем. Пусть. Тогда будет

.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9.Если, то. Поэтому.

10. Так как, то.

11. Если, тои. Поэтому.

12. Так как, то.

§5. Гиперболические функции.

Определениягиперболических функций:

;

;

;

.

Эти функции называются, соответственно, гиперболический косинус, синус, тангенс и котангенс.

Легко проверить, что они связаны соотношениями почти такими же, как круговые функции:

;

;

.

Параметрические уравнения задают единичную окружность:. Поэтому-то,и т.д. называются круговыми функциями. В том случае, когда, получаем. Это − так называемое каноническое уравнение эллипса.

Точно так же система параметрические уравнения после исключения параметрадаёт каноническое уравнение гиперболы:. Этим объясняется название “гиперболические функции”. Отметим, что− четная функция, а− нечетные функции.

Производные и графики гиперболических функций.

13. ;14. ;15. ;16. .

§6. Логарифмическая производная.

Определение. Логарифмической производнойфункцииназывается производная логарифма модуля этой функции, то есть.

Ясно, что , поэтому.

Пример 1. Найти производную степенно-показательной функции, где− дифференцируемые функции, причем.

Решение.

Выведенную формулу легко запомнить. Для вычисления производной степенно-показательной функции нужно это выражение продифференцировать дважды − как степенную функцию и как показательную функцию, а полученные результаты сложить.

Пример 2. , где все− дифференцируемые функции. Найти.

Решение. Так как , то . Умножая, получим.

§7. Лемма Фермá.

Определение. Точка называетсяточкой максимума функции , если в некоторой её окрестности выполняется неравенство . Точканазываетсяточкой минимума функции , если в некоторой её окрестности выполняется неравенство. Точка, где функция имеет либо максимум, либо минимум, называетсяточкой экстремума данной функции.

Лемма Фермá (П. Ферма 1601 − 1665). (Необходимое условие экстремума функции). Если в точке экстремума функциядифференцируема, то. Иначе говоря, в точке экстремума функции её производная равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Пусть, например, функция имеет максимум в точке. В таком случае при всех малых, а при всех малых. Если функция дифференцируема в точке, то существует. Переходя к пределу в полученных ранее неравенствах, видим, что одновременнои. Поэтому.

§8. Теоремы о среднем значении.

Теорема Рóлля (М. Ролль 1652 − 1719). Пусть − функция, непрерывная на отрезкеи дифференцируемая во внутренних его точках (коротко,). Пусть еще. Тогда внутри интерваласуществует точкатакая, что.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса рассматриваемая функция достигает на отрезке наибольшего и наименьшего значений. Если и наибольшее и наименьшее значения достигаются в концах отрезка, то, т.к., следовательно,на интервале. Если же своего наибольшего (или наименьшего) значения функциядостигает во внутренней точкеинтервала, то− точка экстремума функции. В таком случае из леммы Ферма следует, что.

Теорема Лагрáнжа (Ж.Л. Лагранж 1736 − 1813). Пусть − функция, непрерывная на отрезкеи дифференцируемая во внутренних его точках (т.е.). Тогда внутри интерваласуществует точкатакая, что(в другой записи:, т.е. приращение функции рано приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой внутренней точке интервала).

Замечание. Теорема Роля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда .

Теорема Коши (О. Коши 1789 −1857). Пусть даны две функции и при этомна интервале. Тогда внутри этого интервала существует точкатакая, что.

Замечание. Теорема Лагранжа − частный случай теоремы Коши, когда . Отсюда следует, что нам достаточно доказать только теорему Коши.

Доказательство теоремы Коши. Введём вспомогательную функцию

.

Ясно, что и, так как. По теореме Ролля существует точка,. Но тогда. А так как по той же теореме Ролля(иначеобращалась бы в нуль), то. Ч. и т.д.