Разработки к лабам / ТАУ (лабник - Тарасова, Топильская) / Tarasova

Рис.6.

Стартовая точка A обычно соответствует какому-то реальному режиму функционирования системы автоматического регулирования или технологического процесса (x1,0; x2,0; …; xn,0), где n - число варьируемых параметров. Эта исходная точка может выбираться в центре области, которую желательно исследовать, или в центре области ограничений, если они есть. После выбора исходной точки выбирается шаг варьирования. Очевидно, что шаг не должен быть слишком малым - иначе движение к экстремуму окажется замедленным - и слишком большим - иначе возможны грубые ошибки в нахождении экстремума.

Работа алгоритма Гаусса-Зайделя проиллюстрирована на примере тестовой функции вида

при –2 ≤ x1 < 2; –2 ≤ x2 < 2.

Линии уровня функции (2) приведены на рис.7. Функция (2) имеет максимальное значение, равное 2, при x1,0 = –1; x2,0 = 0. Исходная точка имеет координаты (0,1; 0,1). Начальный поисковый шаг по x1 и x2 принят равным 0,1. В каждой поисковой точке на рис.6 приводится значение тестовой функции. Количество неудачных пробных шагов (им соответствуют отмеченные чертой значения функции) увеличивается при резком изменении поведения функции в окрестности экстремума.

31

Рис.7.

Основными достоинствами метода Гаусса - Зайделя являются его наглядность и простота стратегии, а также довольно высокая помехозащищенность. Он обычно применяется начинающими экспериментаторами, не знакомыми с более совершенными и эффективными методами поиска. Недостаток этого метода состоит в малом быстродействии - путь к главному экстремуму обычно оказывается долгим, особенно при большом числе варьируемых параметров. Кроме того, этот метод не дает информации о взаимодействии между оптимизируемыми параметрами. Если в критерии оптимизации есть члены, содержащие произведение параметров, то он неэффективен. Таким образом, этот метод можно рекомендовать для случая, когда взаимодействия параметров несущественны.

Метод Розенброка является итерационной процедурой, имеющей некоторое сходство с методом Гаусса-Зайделя, которое состоит в том, что предпринимаются шаги во время поиска в ортогональных направлениях. Однако вместо непрерывного поиска по координатам, соответствующим направлениям независимых переменных (варьируемых параметров), после каждого цикла координатного поиска при этом методе можно сделать улучшение путем сведения поиска в новую ортогональную систему, которая строится на основании информации, полученной на предыдущем этапе.

32

Графическая интерпретация этого метода на плоскости двух переменных представлена на рис.8 на примере функции (2). Утолщенная линия указывает путь поисковой точки из исходной в экстремальную.

Рис.8.

Вэтом методе взаимодействие переменных исключается вследствие изменения ортогональных направлений поиска.

Симплексный метод основан на более сложном поиске - поиске по многограннику, называемому симплексом. При варьировании одной переменной симплексом будет служить отрезок определенного размера, которым, как линейной меркой (вспомним землемерную "сажень"), отмеряются расстояния по оси x от одной пробной точки до другой. В этом случае симплексный метод аналогичен методу Гаусса-Зайделя. Однако при двух переменных уже видны существенные особенности этого метода, которые показаны на рис.9 также на примере функции (2).

Встартовой точке с координатами (0,1; 0,1) располагается вершина симплекса, который представляет собой равносторонний треугольник. Критерий оптимизации вычисляется в каждой из вершин симплекса. Вершину с наименьшим значением зеркально отражают относительно противолежащей стороны (или грани) симплекса.

Последовательное движение симплексов позволяет довольно надежно и быстро входить в область оптимума, нужно лишь правильно выбрать размер симплекса l. Очевидно, при слишком большом значении l

33

результат будет грубым, а при слишком малом - движение к экстремуму

Рис.9.

окажется чрезмерно замедленным. На рис.9 начальный размер симплекса l = 0,1; в процессе поиска может происходить автоматическое уменьшение l.

Достоинством симплексного метода является его быстродействие по сравнению с предыдущими методами, это особенно существенно при большом числе варьируемых параметров.

Метод случайного поиска (метод Монте-Карло) менее эффективен по сравнению с другими алгоритмами поиска, но благодаря использованию современных ПК он может оказаться практически полезным. Основывается он на использовании случайных направлений поиска. На рис.10 приведена гипотетическая траектория поиска в двумерном случае. Пунктирными стрелками показаны неудачные шаги, а сплошными стрелками - шаги, на которых значения критерия оптимизации уменьшались.

34

Рис.10.

Метод Фибоначчи является эффективным методом одномерной оптимизации и служит для нахождения экстремума функции одной переменной. При параметрической оптимизации динамических САУ его возможно использовать, если варьируется только один параметр.

Поиск с помощью метода Фибоначчи основан на разбиении отрезка прямой на две части с использованием так называемых чисел Фибоначчи.

Работа секции параметрической оптимизации МОДОС

Программный пакет МОДОС позволяет выполнить поисковую оптимизацию по параметрам исследуемой системы автоматического управления. Максимальное число оптимизируемых параметров - 10. Поиск выполняется автоматически, но имеется возможность вмешательства пользователя.

В качестве оптимизируемых переменных может выбираться любой параметр любого функционального блока схемы моделирования за исключением генератора функций и линейного динамического звена общего вида [3].

Секция оптимизации в начале работы напоминает пользователю, что число оптимизируемых параметров равно десяти и запрашивает номер блока, выходная величина которого служит критерием минимизации.

Затем ПК предлагает выбрать алгоритм поиска из пяти перечисленных ранее алгоритмов.

Когда выбор алгоритма сделан, необходимо определить для него правило останова.

Для всех алгоритмов первым условием, а для алгоритмов Фибоначчи и случайного поиска единственным является число оценок критерия.

35

Для симплексного метода в качестве второго дополнительного условия задается минимальный размер симплекса, как дробная часть от единицы, за которую принимается начальный размер.

Затем сегмент запрашивает оптимизируемые параметры и еще некоторую дополнительную информацию в зависимости от выбранной поисковой процедуры (например, начальный шаг поиска, пределы изменения переменных). Запрашиваемая ПК информация приведена в табл.1.

36

монитора: на каждом шаге изменяются значение критерия оптимизации

изначения оптимизируемых параметров.

Впроцессе поиска пользователь может прийти к необходимости использовать другой алгоритм оптимизации, изменить условие останова поиска, число оптимизируемых переменных, начальные поисковые шаги, границы поисковой области. Для выполнения перечисленных действий делается повторно вызов сегмента оптимизации и в ответ на вопросы, задаваемые ПК, вносятся необходимые изменения. Остальные параметры для оптимизации сохраняются прежними.

После завершения оптимизирующей процедуры пользователь может записать значения оптимальных параметров в исходную модель.

Режим оптимизации проиллюстрирован на примере изучения

влияния величины коэффициента усиления kи = 1/Tи интегрального канала пропорционально-интегрального регулятора на вид переходного процесса линейной САУ. В качестве критерия оптимизации взята квадратичная интегральная оценка

Пример. Задана система, структурная схема которой представлена на рис.11.

Рис.11.

37

Требуется построить график переходного процесса в системе при следующих значениях параметров:

k =1; Tи = 5 c; k1 = k2 = 1; T1 = T2 = 1 c

и провести оптимизацию параметра kи = 1/Tи по минимуму квадратичной интегральной оценки.

Схема моделирования в этом случае будет иметь вид, показанный на рис.12. Квадратичная интегральная оценка формируется на выходе блока 10.

7__AN__6

8__AN__7

9__×__2__2

10__I__9

Режим оптимизации Блок критерия оптимизации - 10

Метод оптимизации - Розенброка Число оценок критерия - 6

Минимальная величина евклидовой нормы - 0,1

38

Оптимизируемый блок - 4 Оптимизируемый параметр - 1

Шаг - 0,4

Начальное значение - 0,2

Кривая переходного процесса при заданных параметрах приведена на рис.13.

Рис.13.

После задания оптимизируемых параметров в графическом или текстовом редакторе пользователю необходимо ввести в поле параметрической оптимизации данные для поиска, а затем вызвать оптимизирующую процедуру (клавиша F2).

В режиме оптимизации на экран выводятся значения критерия оптимизации (1,481 - 0,307) и значения оптимизируемого параметра (0,2 - 48,6). По окончании процесса оптимизации выводятся номер лучшего варианта (в данном случае 5), минимальное значение критерия - 0,263, оптимальное значение параметра - 16,2, а также график переходного процесса (рис.14).

САУ при начальном значении оптимизируемого параметра Ти = 5 с имеет время регулирования tр > 20 с (см. рис.13). При оптимальном значении Tи = 16,2 с переходной процесс заканчивается значительно быстрее: tр = 3 c (см. рис.14). Установившаяся ошибка εуст → 0, так как САУ астатическая с ν = 1.

39

Рис.14.

Лабораторное задание

1.Ознакомиться с методами оптимизации, включенными в ПП МОДОС. Выбрать один из методов для решения задачи параметрической оптимизации САУ, пояснить выбор.

2.Составить схему моделирования САУ своего варианта (табл.2). Сформировать средствами языка МОДОС критерий оптимизации типа квадратичной интегральной оценки (3). Варьируемые параметры - k и T1. Структурная схема САУ приведена на рис.15.

3.Подготовить исходные данные САУ и параметры оптимизации для задания на ПК. Получить допуск на ПК у преподавателя.

4.Используя IВМ РС-совместимый компьютер, вызвать ПП МОДОС (каталог MODOS, загрузочный модуль modos.exe). В диалоговом режиме ввести исходные данные. Получить график переходного процесса при начальных параметрах САУ k и T1

.Определить показатели качества tp и σ.

40