16.Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Способы вычисления дисперсии. Основные свойства дисперсии.

Отклонением называю разность между случ.величиной и ее мат.ожиданием X-M(X)

Теорема 1. Мат.ожидание отклонения равно нулю. M(x-M(x))=0 Док-во:M(x)=m(m-const)

M(x-m)=M(x+(-m)=M(x)+M(-m)=0 по св-ву 4 где M(x)=m, аM(-m)=-m

Дисперсией – наз-ся мат. ожидание кв. отклонения этой величины от ее мат. ожидания.замечание:

Средним квад. отклонением наз-ся корень из дисперсии

Теорема 2 . Дисперсия равна разность между мат.ожиданием кв.случайной величины и кв ее мат . ожиданию док-во M(x) = m = const

Дисперсией непрерывной случ. величины наз. мат. ожидание квадрата ее отклонения.

.

Свойства дисперсии:

1)D(c)=0 c-const; 2) D(cX)=*D(x); 3)D(x+y)=D(x)+D(y); 4)D(x-y)=D(x) - D(y) 4); D(x)=прq

17. Функцией распределения вероятностей случайной величины, ее свойства.

Функцией распределения называют ф-цию опред. Вероятность того что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшего числах.

F(x)=P(X< x) где Х – значение случайной величины, х – число

Св-вo1: F(x);

Св-вo2:М(х) – не убывающая функция

Если , то

Док-во:

F()=P(x< )=P(x< )+P() гдеP(x< ) – это F()

F()=F()=P()

След. P()=F(b)-F(a)

P(x=a)=0

Следствие1.Вероятность того,что случайная величина примет значение,заключенное в интервале(а,в)=приращению функции распределения на этом интервале

Р(a</x</b)=F(b)-F(a)

P(x=a)=0

Следствие2.Вероятность того,что непрерывная случайная величина Х примет одно опеределнное значение=0

Св-вo3: если возможное значение случайной величины х принадлежит интервалу отaдоb, то F(x)=0, xaи F()=1,xb

Следствие.Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х,то справедливы следующие предельные соотношения:

lim F(x)=0;lim F(x)=1

18. Плотность распределения вероятностей непрерывноей случайной велечины, ее свойства.

Плотностью распределения вероятности непрерывной случ велечины наз. Ф-цию f(x) которая явлется первой пройзводной от функции распределенияF(x)

f(x)=F’(x) гдеf(x)- функция плотности дифференц. ,F’(x) – интегральная функция распределения

F(x)

Теорема: Вероятность того что непрерывная случайная величина примет значение в интервале от а до b. P()=F(b) -F(a)

Ньютона – Лейбница F(b) -F(a)=

Св 1: f(x)≥0

f(x)=F’(x), гдеF’(x) – неубыв.

Св 2: ↔

.

Нормальная кривая.

График плотности нормального распределения-нормальная кривая(кривая Гаусса)

19.Равномерное распределение,числовые хар-ки.

Равномерное-если на интервале,которому принадлежит все возможные значения случ величины,плотность распределения сохраняет постоянное значение.

.f(x)

c

a b x

.c(b-a) = 1

пусть x≤a

пусть a<x≤b

пусть x˃b

.F(x)

1

abx

20.показательно распределение, его числовые характеристики. Функция надежности.

f(x)=f(x)

(ƛ˃0 x

пусть х≤0

пусть х˃0

.F(x)

1

M(x)=

.

=

M(x)==˃ ƛ=

D(x)= M(

σ(x)==

M(x)=σ(x)=

Длительность безотказной работы элементов/элементов/аппаратов и т.д. обычно имеет показательное распределение. Вероятность отказа за время t вычисляется по формуле

F(t)=1-,t˃0, а вероятность отказа или функция надежность по:

R(t)=1 – F(t) = 1- (1