Арифметические основы компьютера
Представление действительных чисел в ЭВМ
Противоречие:
бесконечное множество
действительных чисел и конечно-
разрядные вычислительные машины
Все вещественные числа имеют два ограничения:
На диапазон значений
На точность представления
Представление действительных чисел в форме с плавающей точкой
Множество F чисел с плавающей точкой характеризуется 4-мя параметрами
основанием , точностьюx t, интервалом показателей [L, U]
Каждое число x с плавающей точкой, принадлежащее F, имеет вид:
x ( d1 d2 dt ) l
1 2 t
где 0 di -1 |
(i 1, ,t); |
L l U |
Представление действительных чисел в форме с плавающей точкой
Если x F справедливо d1 0, то система с
плавающей точкой называется
нормализованной
Число l называется показателем
Число |
f ( |
d1 |
|
d2 |
|
dt |
)- дробной частью |
1 |
2 |
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
t f |
является целым и может |
|||||
храниться в той или иной схеме,
предусмотренных для целых чисел
Представление действительных чисел в форме с плавающей точкой
Множество F не является континуумом или бесконечным множеством
Оно содержит 2 ( -1) t-1(U-L+1)+1 элементов
Числа большие максимального из множества F не могут быть отображены также как меньшие по модулю по сравнению с наименьшим
Рассмотрим систему с параметрами:
=2, t=3, L=-1 U=2
l 1 |
x |
1 , |
|
x |
|
|
(1 |
1 |
) 2 1 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1,2 |
|
4 |
3,4 |
|
2 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x (1 |
|
1 |
|
1 |
) 2 1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
5,6 |
|
2 |
22 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x (1 |
1 |
) 2 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
7,8 |
|
2 |
23 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l 0 |
x |
|
1 |
, x |
|
|
3 |
, |
|
x |
|
|
|
7 |
, |
x |
|
5 |
|||||||||||
|
|
9,10 |
2 |
|
|
|
11,12 |
4 |
|
|
|
|
13,14 |
8 |
|
|
15,16 |
8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l 1 |
x |
|
1, |
|
x |
|
|
|
3 , |
|
x |
21,22 |
|
7 , |
x |
23,24 |
|
5 |
|||||||||||
|
|
17,18 |
|
19,20 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l 2 |
x |
25,26 |
2, |
|
x |
27,28 |
|
3, |
|
x |
29,30 |
|
|
7 , |
|
x |
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
31,32 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Представление действительных чисел в форме с плавающей точкой
Данная система будет состоять из 33 чисел
Наименьшее число –3,5
Наибольшее число 3,5
Таким образом мы получаем интервал (-3,5;3,5)
Числа в интервале расположены неравномерно
Ошибки округления
Пусть x действительное число, не выходящее за пределы F
Обозначим fl(x) ближайший к нему элемент из множества F
Относительной ошибкой представления числа x называется величина
fl(x) x |
|
1 |
1 t |
|
|
||||
x |
||||
|
2 |
|
Ошибки округления
Допустим, необходимо представить число 2,25.
Ближайшее к нему – 2,5 Тогда, относительная ошибка равна
2,5 2,25 |
|
100% 10% |
|
||
2,25 |
|
|
Если в качестве приближения взять число 2, то ошибка составит 2 2,25
2,25 100% 12,5%
Арифметические операции
Сумма чисел может не принадлежать множеству F:
пусть х=5/4, y=3/8
x+y=13/8 – в результате получим 3/2
или 7/4
Пусть x=7/2 y=7/2
x+y=7 – не принадлежит множеству F