Sem_2 / Sem_2

309. Даны две прямоугольные системы координат Oxy è O0x0y0. Начало второй систе-

пересечения осей Oy è O0y0. Выразить координаты произвольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе.

310. За начало первой прямоугольной системы координат Oxy принимается верши-

íà O прямоугольного треугольника AOB, а за положительное направление осей Ox è

−→ −−→

Oy направления катетов OA è OB, причем |OA| = 3, |OB| = 1. За начало второй

тельное направление оси O0y0 выбирается так, чтобы обе системы имели одинаковую ориентацию. Выразить координаты произвольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе.

311. Относительно прямоугольной системы координат Oxy даны две взаимно пер-

пендикулярные прямые: a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0.

Принимая эти прямые соответственно за оси O0y0 è O0x0, а за положительные направ-

ления осей O0x0 è O0y0 векторы (a1, b1) è (a2, b2), найти выражения новых координат x0, y0 произвольной точки M через ее старые координаты x è y.

19.Эллипс, гипербола, парабола

312. Составить уравнение линии второго порядка, оси которой совпадают с осями

координат, зная, что она проходит через точки (2, 2), (3, 1).

313. Написать уравнение эллипса, описанного около равностороннего треугольника,

две вершины которого находятся в точках (a, 0) è (−a, 0) и совпадают с вершинами эллипса, принадлежащими одной оси.

314. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1, 2), асимптотами

которой служат прямые y = 1/2x, y = −1/2x.

315. Доказать, что длина отрезка, соединяющего центр эллипса с произвольной его точкой, заключена между длинами полуосей этого эллипса.

316. Найти длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в параболу y2 = 2px так, чтобы одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы.

317. Написать уравнение эллипса, пересекающего ось Ox в точках (1, 0) è (9, 0) è

касающегося оси Oy в точке (0, 3), зная, что его оси параллельны осям координат. 318. Написать уравнение эллипса, оси которого параллельны осям координат, каса-

ющегося осей Ox è Oy соответственно в точках (5, 0) è (0, 3).

319. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1, 0), асимптотами которой являются прямые x = 0, y = 1.

320. Написать уравнение равносторонней гиперболы, для которой ось Ox служит асимптотой, а точка (1, 1) вершиной.

321. Вычислить длины сторон равнобедренного треугольника ABC, вписанного в равностороннюю гиперболу с полуосями, равными a, зная, что вершина A совпадает с вершиной гиперболы и что угол при этой вершине равен 120o.

322. Написать уравнение эллипса с вершинами (0, 6) è (0, −2), çíàÿ, ÷òî íà îñè Ox этот эллипс высекает хорду длины 6.

21

323. Написать уравнение линии второго порядка, для которой ось Ox является осью симметрии, ось 0y касательной к вершине, зная что линия проходит через две точки

(2, 3) è (6, −3).

20.Эллипс, гипербола, парабола (продолжение)

324. Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы до двух асимптот одно и то же для всех точек гиперболы.

325. Найти наибольший радиус круга, лежащего внутри параболы y2 = 2px и касающегося параболы в ее вершине.

326. Доказать, что четыре точки пересечения двух парабол, оси которых взаимно перпендикулярны, лежат на одной окружности.

327. Через фиксированную точку A0 оси параболы проводятся всевозможные хорды. Доказать, что произведение расстояний от концов хорды до оси параболы не зависит от направления хорды.

328. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в точке (2, 6), à îñü

параллельна оси Oy, çíàÿ ÷òî íà îñè Ox эта парабола высекает хорду длины 6.

329. Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна из вершин которой нахо-

дится в точке (2, 2), действительная ось параллельна оси 0y при условии, что на оси Ox гипербола высекает хорду длины 8.

330.Написать уравнение эллипса, для которого прямые x + y − 1 = 0 è x − y + 1 = 0 суть большая и малая оси и длины полуосей которого a = 2, b = 1.

331.Написать уравнение параболы, осью которой служит прямая x + y + 1 = 0 и которая проходит через точки (0, 0), (0, 1).

332.Написать уравнение гиперболы, зная ее ось 2x − y + 2 = 0, асимптоту y = 0 è

точку (1, 1).

333. Написать уравнение гиперболы, зная, что ее асимптоты параллельны осям координат и что гипербола проходит через следующие точки: (0, 0), (2, 1), (1, 2).

21.Фокусы и директрисы кривых второго порядка

Найти фокусы F1, F2 и соответствующие им директрисы линий:

337.Найти фокус и директрису параболы 3x2 + 12x + 16y − 12 = 0.

338.Найти фокус F и директрису d параболы y = ax2.

339.Найти фокусы и директрисы равносторонней гиперболы 2xy = a2.

340.Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами (7, 0) è (−7, 0), проходящих через точку (−2, 12).

341.Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус (2, 0), соответству-

ющую ему директрису x = 8 и эксцентриситет e = 1/2. Найти второй фокус и вторую директрису линии.

342. Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точ- ке (2, 0), соответствующая ему директриса имеет уравнение x = 5, зная, что линия

проходит через точку (10, 6) Найти второй фокус и вторую директрису этой линии. 343. Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точ-

êå (2, 0), соответствующая ему директриса имеет уравнение x = 6, зная, что линия

22

проходит через точку (−4, 8).

344. Написать уравнение линии второго порядка, центр которой находится в точке (1, 0), а одной из директрис служит прямая x = 2, зная, что линия проходит через точку

(5, 6).

345.Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (1, 1) и асимптоту x + y = 0.

346.Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (2, 0) и асимптоту x = 1.

347.Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0), (0, 1)

èбольшая ось равна 2.

348.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой имеют координаты (1, 0), (0, 1)

èасимптоты параллельны осям координат.

22.Определение типа кривой второго порядка

по ее общему уравнению

С помощью переноса начала системы координат установить тип кривой и найти ее расположение относительно данной системы координат (нарисовать картинку):

ГЛАВА 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

23.Алгоритм Лагранжа

Найти нормальный вид над R, для следующих квадратичных форм:

23

377. 3x21 + 2x22 − x23 − 2x24 + 2x1x2 − 4x2x3 + 2x2x4.

Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые:

378. 2x21 +3x22 +4x23 −2x1x2 +4x1x3 −3x2x3. 379. 3x21 −2x22 +2x23 +4x1x2 −3x1x3 −x2x3.

380. 12x21 + 2x22 + 3x24 − x1x2 + x2x3 − x3x4.

Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразова-

ние, переводящее форму f в форму g (искомое преобразование определено не однознач- но):

381. f = 2x21 + 9x22 + 3x23 + 8x1x2 − 4x1x3 − 10x2x3;

g= 2y12 + 3y22 + 6y32 − 4y1y2 − 4y1y3 + 8y2y3.

382.f = 3x21 + 10x22 + 25x23 − 12x1x2 − 18x1x3 + 40x2x3;

g= 5y12 + 6y22 + 12y1y2.

383.f = 5x21 + 5x22 + 2x23 + 8x1x2 + 6x1x3 + 6x2x3;

g= 4y12 + y22 + 9y32 − 12y1y3.

классы так, что две формы будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному и тому же классу. Найти число этих классов в комплексной и в вещественной областях.

387. Какими значениями ранга и сигнатуры характеризуются те классы вещественно

эквивалентных квадратичных форм, для которых форма f эквивалентна форме −f.

24.Положительно определенные квадратичные формы

Найти все значения параметра λ, при которых отрицательно определены следующие квадратичные формы:

393. −x21 + λx22 − x23 + 4x1x2 + 8x2x3. 394. λx21 − 2x22 − 3x23 + 2x1x2 − 2x1x3 + 2x2x3.

25.Приведение к главным осям

24

25