Sem_2 / Sem_2
.pdfчто матрица этого оператора в некотором базисе e = (e1, . . . , en) равна BA−1, где столб- цы матриц A è B состоят соответственно из координат заданных векторов в базисе
e.
145. Найти общий вид матрицы линейного оператора ϕ в базисе, первые k векторов |
||||||||||||
которого составляют: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) базис ядра оператора ϕ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) базис образа оператора ϕ. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
. Оператор |
||
146. Оператор ϕ в базисе a1 = (1, 2), a2 = (2, 3) имеет матрицу |
||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
ψ в базисе b1 = (3, 1), b2 = (4, 2) имеет матрицу |
6 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу оператора ϕ + ψ в базисе b1, b2. |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
5 |
−3 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
147. Оператор ϕ в базисе a1 = ( 3, 7), a2 |
= |
|
(1, |
|
2) имеет матрицу |
|
2 |
−1 . |
||||
Оператор ψ в базисе b1 = (6, −7), b2 = (−5, 6) имеет матрицу |
2 |
7 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
Найти матрицу оператора ϕψ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.
8.Собственные векторы
Найти собственные векторы и собственные значения операторов:
148.Оператор дифференцирования в пространстве Rn[x].
149.Оператор X 7→XT в пространстве Mn(R).
d
150. Оператор xdx в пространстве Rn[x].
x
151. Оператор 1 Z
x
f(t)dt в пространстве Rn[x].
0
152. Доказать, что в пространстве Rn[x] линейный оператор f 7→f(ax + b) имеет следующие собственные значения: 1, a, . . . , an.
153. Доказать, что собственный вектор линейного оператора ϕ с собственным зна- чением λ является собственным вектором оператора f(ϕ), где f(x) многочлен, с собственным значением f(λ).
154. Доказать, что если оператор ϕ невырожденный, то операторы ϕ и ϕ−1 имеют одни и те же собственные векторы.
155. Доказать, что все ненулевые векторы пространства являются собственными для линейного оператора ϕ тогда и только тогда, когда ϕ оператор подобия x 7→αx, где
α некоторый фиксированный скаляр.
156. Доказать, что если линейный оператор ϕ â n-мерном пространстве имеет n
различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с ϕ, имеет базис, состоящий из его собственных векторов.
157.Доказать, что если оператор ϕ2 имеет собственное значение λ2, то одно из чисел
λè −λ является собственным значением оператора ϕ.
158.Доказать, что всякий многочлен степени n со старшим коэффициентом (−1)n
является характеристическим многочленом некоторой матрицы порядка n.
11
159.Доказать, что если A è B квадратные матрицы одинакового порядка, то матрицы AB è BA имеют совпадающие характеристические многочлены.
160.Найти характеристические числа матрицы AT · A, ãäå A матрица-строка
(a1, . . . , an).
161. Доказать, что все характеристические числа матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырождена.
Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:
162.
165.
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
5 |
3 |
3 |
. |
||
−1 |
−0 |
−2 |
|
7 −12 6
10 −19 10 .
12 −24 13
163.
166.
−4 |
4 |
0 |
. |
164. |
|
5 |
−7 |
3 |
. |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
4 |
−5 |
2 |
|
−2 |
1 |
2 |
|
6 |
−9 |
4 |
|
1 |
−4 |
9 . |
167. |
|
1 |
−1 |
0 |
0 |
. |
||
|
4 |
5 |
7 |
|
|
|
3 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
3 |
|
0 |
5 |
3 |
|||||||
|
4 |
−0 |
5 |
|
|
4 |
|
1 |
3 |
−1 |
||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису над полем R или над полем C:
168. |
|
−1 |
3 −1 |
. |
169. |
4 |
7 |
−5 |
. |
|
||||
−3 |
5 |
−1 |
−4 |
5 |
0 |
|
||||||||
|
|
−3 |
3 |
|
1 |
|
|
|
1 |
9 |
−4 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
5 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
. |
170. |
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
||||||
6 |
4 |
−9 . |
171. |
1 |
|
1 |
||||||||
|
|
5 3 |
−7 |
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
−1 |
|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
9.Инвариантные подпространства
172. Найти инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в
n[x].
173.Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов линейного оператора ϕ инвариантна относительно ϕ.
174.Доказать, что ядро и образ линейного оператора ϕ инвариантны относительно
ϕ.
175.Всякое подпространство, содержащее образ оператора ϕ, инвариантно относительно ϕ. Доказать.
176.Доказать, что если подпространство L инвариантно относительно ϕ, то его образ
èполный прообраз инвариантны относительно ϕ.
177.Доказать, что если линейный оператор ϕ невырожден, то всякое подпространство, инвариантное относительно ϕ, инвариантно относительно ϕ−1.
178.Доказать, что в n-мерном комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности n − 1.
179.Пусть линейный оператор ϕ в n-мерном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпро-
странства, инвариантные относительно ϕ.
180. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариант-
12
ные относительно линейного оператора с матрицей
|
2 |
−0 |
2 |
. |
|
4 |
2 |
2 |
|
−1 |
1 |
1 |
181. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариант- |
|||||||||
ные одновременно относительно двух линейных операторов, заданных матрицами |
|||||||||
|
|
−1 |
−5 |
−1 , |
|
−2 |
3 |
6 . |
|
|
|
5 |
|
1 |
−1 |
|
6 |
2 |
3 |
|
|
−1 |
−1 |
5 |
3 |
−6 |
2 |
||
182. Â Rn[x] найти все подпространства, инвариантные относительно оператора |
|||||||||
à) ϕ(f) = xdx |
|
x |
f(t)dt. |
|
|
|
|
||
; á) ϕ(f) = x Z0 |
|
|
|
|
|||||
|
df |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
183. Доказать, что если для операторов ϕ, ψ конечномерного векторного пространства V над полем C выполняются равенства ϕ2 = ψ2 = ε, то в V существует одномерное
или двумерное подпространство, инвариантное относительно ϕ è ψ.
184. Доказать, что комплексное векторное пространство, содержащее только одну прямую, инвариантную относительно линейного оператора ϕ, неразложимо в прямую
сумму ненулевых подпространств, инвариантных относительно ϕ.
ГЛАВА 3.
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
10.Скалярное произведение
185. Пусть x = (x1, x2), y = (y1, y2). Доказать, что каждое из перечисленных ниже правил задает на R2
à) (x, y) = x1y1 + x2y2, á) (x, y) = 2x1y1 + 5x2y2,
â) (x, y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2.
Вычислить скалярное произведение векторов x = (1, 1), y = (−3, 2) в каждом случае. 186. Доказать, что в евклидовом пространстве |x| = |y| тогда и только тогда, когда
векторы x − y è x + y ортогональны.
187. В пространстве Mn(R) со скалярным произведением (X, Y ) = tr XY T найти ортогональное дополнение к подпространству:
а) матриц с нулевым следом; б) симметрических матриц; в) кососимметрических матриц; г) верхнетреугольных матриц.
Дополнить до ортогонального базиса систему векторов евклидова пространства:
188. (1, −2, 2, −3), (2, −3, 2, 4). 189. (1, 1, 1, 2), (1, 2, 3, −3).
Дополнить до ортонормированного базиса систему векторов евклидова пространства:
13
190. |
|
3, |
3, |
3 |
, |
|
3, |
3 |
, −3 |
. 191. |
|
2, |
2, |
2, |
2 |
, |
|
2, |
2, − |
2, − |
2 |
. |
|||||
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
192. |
Найти ортогональную проекцию вектора x евклидова пространства на линей- |
||||||||||||||||||||||||||
ную оболочку ортонормированной системы векторов e1 |
, . . . , ek. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
193. |
Доказать, что в любых двух подпространствах евклидова пространства мож- |
||||||||||||||||||||||||||
но выбрать ортонормированные базисы |
e1, . . . , ek è f1, . . . , fl таким образом, чтобы |
||||||||||||||||||||||||||
(ei, fj) = 0 ïðè i 6= j è (ei, fj) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
194. |
Пусть e1, . . . , ek |
è f1, . . . , fl |
ортонормированные базисы подпространств L и |
||||||||||||||||||||||||
M евклидова пространства, |
|
f |
|
матрица порядка k |
× |
l. Доказать, что все |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ((ei, Tj)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
характеристические числа матрицы A |
· A принадлежит отрезку [0, 1] и не зависят от |
||||||||||||||||||||||||||
выбора базисов в подпространствах L è M. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
195. |
Доказать, что сумма квадратов длин проекций векторов любого ортонормиро- |
ванного базиса евклидова пространства на k-мерное подпространство равна k.
11.Процесс ортогонализации
С помощью процесса ортогонализации построить ортогональный базис линейной оболочки системы векторов евклидова пространства:
196. (1, 2, 2, −1), (1, 1, −5, 3), (3, 2, 8, −7). 197. (1, 1, −1, −2), (5, 8, −2, −3), (3, 9, 3, 8).
198. (2, 1, 3, −1), (7, 4, 3, −3), (1, 1, −6, 0), (5, 7, 7, 8).
199. Пусть L подпространство евклидова пространства V , L ортогональное дополнение к L. Доказать следующие свойства ортогонального дополнения:
à) V = L L ; á) (L ) = L; â) (L1 + L2) = L1 ∩ L2 ;
ã) (L1 ∩ L2) = L1 + L2 ; ä) V = 0, 0 = V .
Найти базис ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов евклидова пространства:
200. (1, 0, 2, 1), (2, 1, 2, 3), (0, 1, −2, 1).
201. (1, 1, 1, 1), (−1, 1, −1, 1), (2, 0, 2, 0).
202. Доказать, что системы линейных уравнений, задающих линейное подпростран-
ñòâî â Rn и его ортогональное дополнение, связаны следующим образом: коэффициенты линейно независимой системы, задающей одно из этих подпространств, являются координатами векторов базиса другого подпространства.
Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству, заданно- |
|||
му системой уравнений: |
|
204. 2x1 + 3x2 + 4x3 − 3x4 |
|
203. 2x1 + x2 + 3x3 − x4 |
= 0, |
= 0, |
|
3x1 + 2x2 − 2x4= 0, |
3x1 − x2 + 11x3 − 13x4= 0, |
||
3x1 + x2 + 4x3 − x4= 0. |
4x1 + x2 + 18x3 − 23x4= 0. |
Найти проекцию вектора x на подпространство L = ha1, . . . , ani, и ортогональную составляющую вектора x:
205. a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 2, 2, −1), a3 = (1, 0, 0, 3); x = (4, −1, −3, 4). 206. a1 = (2, 1, 1, −1), a2 = (1, 1, 3, 0), a3 = (1, 2, 8, 1); x = (5, 2, −2, 2).
207. Найти проекцию вектора x на подпространство L и ортогональную составляю-
14
щую вектора x, åñëè x = (7, −4, −1, 2) è L задано системой уравнений
2x1 + x2 + x3 + 3x4= 0, 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4= 0, x1 + 2x2 + 2x3 − 4x4= 0.
12.Геометрия евклидовых пространств
Найти расстояние от вектора x до подпространства, заданного системой уравнений:
208. |
x = (2, |
4, 0, −1); |
209. x = (3, 3, −4, 2); |
|
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0, |
x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0, |
|
|
2x1 + 4x2 + 2x3 + 4x4 = 0. |
x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = 0. |
|
210. |
x = (3, |
3, −1, 1, −1); |
211. x = (3, 3, −1, 1, −1); |
|
2x1 − 2x2 + 3x3 − 2x4 + 2x5 = 0. |
x1 − 3x2 + 2x4 − x5 = 0. |
212. (Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.) Пусть e1, . . . , ek ортонорми-
рованная система векторов n-мерного евклидова пространства V . Доказать, что для любого вектора x выполняется неравенство
k
X
|(x, ei)|2 6 |x|2,
i=1
причем равенство достигается для любого x тогда и только тогда, когда k = n, то есть данная система векторов является ортонормированным базисом пространства V
(равенство Парсеваля).
213. Доказать, что определитель Грама любой системы векторов в процессе ортогонализации не меняется.
214. Доказать, что определитель Грама системы векторов равен нулю тогда и только тогда, когда система линейно зависима, и положителен, если она линейно независима.
215. Доказать, что определитель Грама системы векторов не превосходит произведения квадратов длин векторов системы, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны или один из них нулевой.
216. С помощью скалярного произведения векторов доказать, что а) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон;
б) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
217. (n-мерная теорема Пифагора). Доказать, что квадрат диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины.
218.Найти число диагоналей n-мерного куба, ортогональных данной диагонали.
219.Найти длину диагонали n-мерного куба с ребром a и углы между диагоналями куба и его ребрами.
220.Найти радиус шара R, описанного около n-мерного куба с ребром a, и решить
неравенство R < a.
221. Доказать, что длина ортогональной проекции ребра n-мерного куба на любую его диагональ равна 1/n длины диагонали.
Вычислить объем n-мерного параллелепипеда со сторонами:
222. (1, −1, 1, −1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1).
15
223. (1, 1, 1, 1), (1, −1, −1, 1), (2, 1, 1, 3), (0, 1, −1, 0).
224. (1, 1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 1, −2), (2, 1, −1, 0, 2), (0, 7, 3, −4, −2), (39, −37, 51, −29, 5).
225. Доказать, что для объема параллелепипеда выполняется неравенство
V (a1, . . . , ak, b1, . . . , bl) 6 V (a1, . . . , ak) · V (b1, . . . , bl),
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда (ai, bj) = 0 ïðè âñåõ i è j.
Найти угол между вектором x и подпространством L = ha1, . . . , ani:
226. a1 = (3, 4, −4, −1), a2 = (0, 1, −1, 2); x = (2, 2, 1, 1).
227. a1 = (5, 3, 4, −3), a2 = (1, 1, 4, 5), a3 = (2, −1, 1, 2); x = (1, 0, 3, 0). 228. a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 2, 0, 0), a3 = (1, 3, 1, 1); x = (1, 1, 0, 0).
229. Доказать, что если каждые два различных из k векторов евклидова пространства V образуют между собой угол π3 , òî k 6 dim V .
230.Доказать, что если каждые два различных из k векторов евклидова пространства образуют тупой угол, то k 6 1 + dim V .
231.Найти угол между диагональю n-мерного куба и его k-мерной гранью.
232.Найти угол между двумя подпространствами L1 = h(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)i è L2 =
h(1, 1, 1, 1), (1, −1, 1, −1)i.
13.Линейные функции
233. Доказать, что для каждого базиса сопряженного пространства V существует
единственный базис пространства V , для которого данный базис является сопряженным.
234. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции f íà n-мерном пространстве V существует базис e1, . . . , en пространства V , такой, что
f(x1e1 + . . . + xnen) = x1
для любых коэффициентов x1, . . . , xn.
235.Доказать, что всякое k-мерное подпространство n-мерного пространства является пересечением ядер некоторых n − k линейных функций.
236.Пусть f ненулевая линейная функция на векторном пространстве V (не обязательно конечномерном), U = Ker f. Доказать, что
à) U максимальное подпространство V , то есть не содержится ни в каком другом подпространстве, отличном от V ;
á) V = U hai для любого a / U.
237. Доказать, что если две линейные функции на векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они различаются скалярным множителем.
238. Доказать, что n линейных функций на n-мерном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство.
239. Доказать, что векторы e1, . . . , ek конечномерного пространства V линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют линейные функции f1, . . . , fk V
такие, что det(fi(ej)) 6= 0.
240. Пусть l1, l2 линейные функции на векторном пространстве V , причем l1(x)l2(x) = 0 äëÿ âñåõ x V . Доказать, что одна из функций нулевая.
16
14.Сопряженный оператор
241. Доказать следующие свойства операции перехода к сопряженному оператору в евклидовом пространстве:
à) ϕ = ϕ; |
á) (ϕ + ψ) = ϕ + ψ ; |
|||
â) (ϕψ) = ψ ϕ ; |
ã) (λϕ) = λϕ , λ |
|
R; |
|
ä) ϕ ϕ è ϕϕ симметрические |
|
|
||
|
|
операторы; |
е) если оператор ϕ невырожден, то (ϕ−1) = (ϕ )−1.
242.Пусть e1, e2 ортонормированный базис евклидова пространства и оператор
ϕ имеет в базисе e1, e1 + e2 матрицу |
1 |
|
2 |
. Найти матрицу оператора ϕ â ýòîì |
|
базисе. |
1 |
−1 |
|
|
|
243. Найти оператор, сопряженный к проектированию координатной плоскости на |
|||||
ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей. |
|||||
244. Пусть ϕ проектирование евклидова пространства V на подпространство V1 |
|||||
параллельно подпространству V2. Доказать, что |
|
|
|||
á) V = V1 V2 ; |
|
|
|
|
|
à) |
|
|
|
|
|
Доказать, что если подпространство |
|
||||
245.ϕ проектирование пространства V |
íà |
|
|
||
|
евклидоваV параллельнопространстваV . инвариантно от- |
||||
|
|
|
|
2 |
1 |
носительно линейного оператора ϕ, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора ϕ .
246. Доказать, что ядро и образ сопряженного оператора ϕ являются ортогональ- ными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора ϕ.
247. Доказать, что если x собственный вектор операторов ϕ è ϕ в евклидовом пространстве с собственными значениями λ è µ, òî µ = λ.
15.Симметрический оператор
248.Доказать, что собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
249.Доказать, что если ϕ è ψ симметрические операторы в евклидовом простран-
ñòâå V è (ϕx, x) = (ψx, x) äëÿ âñåõ x V , òî ϕ = ψ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
250. Доказать, что произведение двух симметрических операторов в евклидовом |
|
|||||||||||||||||||||||||
пространстве является симметрическим оператором тогда и только тогда, когда эти |
|
|||||||||||||||||||||||||
операторы перестановочны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
251. Доказать, что проектирование евклидова пространства L1 L2 на подпростран- |
|
|||||||||||||||||||||||||
ñòâî L1 параллельно L2 является симметрическим оператором тогда и только тогда, |
|
|||||||||||||||||||||||||
когда L1 è L2 ортогональны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе оператора, |
|
|||||||||||||||||||||||||
заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: |
−4 |
. |
|
|
|
|
0 1 0 |
. |
||||||||||||||||||
252. |
|
1 2 . |
253. |
|
2 2 |
10 |
. |
254. |
|
8 |
17 |
|
|
255. |
||||||||||||
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
11 2 |
−8 |
0 |
|
|
|
|
17 |
−8 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
8 10 |
5 |
|
|
|
−4 |
4 11 |
|
|
|
1 0 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
0 |
0 |
1 |
. |
|
− |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
||||||
256. |
|
1 |
−5 |
−1 . |
257. |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
258. |
|
1 |
|
1 |
−1 |
−1 |
. |
|
|||||||
|
5 |
|
1 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
||
|
|
−1 |
− |
1 |
−5 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
−1 |
|
1 |
−1 |
|
|
||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
17
259.Доказать, что симметрические операторы евклидова пространства перестановочны тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный собственный базис.
260.Симметрический оператор ϕ евклидова пространства V называется неотрица-
тельным (положительным), если (ϕx, x) > 0 ((ϕx, x) > 0) äëÿ âñåõ x V .
Доказать, что симметрический оператор в евклидовом пространстве а) неотрицателен тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотри-
цательны; б) положителен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положи-
тельны.
261.Доказать, что если ϕ оператор в евклидовом пространстве, то ϕ ϕ неотрицательный симметрический оператор и положителен тогда и только тогда, когда оператор
ϕобратим.
262.Доказать, что если два неотрицательных симметрических оператора в евклидовом пространстве перестановочны, то их произведение неотрицательный симметрический оператор.
263.Доказать, что собственные значения произведения двух неотрицательных симметрических операторов в евклидовом пространстве, один из которых обратим, являются вещественными и неотрицательными.
16.Ортогональный оператор
264.Доказать: если оператор в евклидовом пространстве сохраняет длины векторов, то он ортогонален.
265.Доказать, что если векторы x è y евклидова пространства имеют одинаковую
длину, то существует ортогональный оператор, переводящий x â y.
266.Пусть x1, . . . , xk è y1, . . . , yk две системы векторов евклидова пространства. Доказать, что ортогональный оператор, переводящий xi â yi, i = 1, . . . , k, существует тогда и только тогда, когда (xi, xj) = (yi, yj) ïðè âñåõ i è j îò 1 äî k.
267.а) Пусть w ненулевой вектор евклидова пространства. Для любого вектора x положим Uw(x) = x − 2((w,x, ww))w. Доказать, что Uw(w) = −w è Uw(y) = y, åñëè y hwi .
б) Пусть x, y ненулевые векторы евклидова пространства, причем y / hxi. Äîêà-
|x|
зать, что найдется такой вектор w, ÷òî Uw(x) = |y|y.
Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, за- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данного в некотором ортонормированном базисе матрицåé: |
|
|
|
3 |
|
2 |
−2 |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
|
1 |
−2 |
. |
269. |
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
−√2 |
. |
270. |
||||||||||||||||||||||||
268. 1 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
√2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
−1 |
−2 |
|
2 |
|
|
√ |
|
−√ |
|
|
|
|
0 |
|
−1 |
2 |
−2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
. |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
−√6 |
272. |
|
−√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
271. 1 |
|
3 |
|
1 |
|
√6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
√2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
√ |
|
−√ |
|
|
2 |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
18
273. 1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
−1 |
|
−1 |
. |
274. 1 |
|
1 |
1 |
|
−1 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
1 |
|
−1 |
1 |
|
−1 |
|
|
2 |
−1 1 |
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
2− 2 |
− |
1 |
. |
|
9 |
|
− |
8 4 |
. |
− |
|
7 |
|
3 |
2 |
6 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
−1 |
2 |
|
−2 |
|
276. |
4 |
−4 |
7 |
|
277. |
6 |
−3 |
−2 |
||||||||||||||||||||||||||||
275. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
−1 |
|
|
2 |
|
|
|
−8 |
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
6 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
278. 1 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
279. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
0 |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
√2 |
√2 |
√2 |
|
|
√6 |
√6 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 4.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
17.Окружность
280.Составить уравнение окружности с центром в точке (a, 0) (a > 0), касающейся
îñè Oy.
281.Составить уравнение окружности радиуса r, касающейся осей координат.
Найти координаты центра и радиус следующих окружностей: |
|
|
|
||||||||||||||
282. |
x2 |
2+ |
y2 |
+ x = 0. |
283. x2 |
|
y2 |
y |
. |
284. x2 |
|
y2 |
+ 2x |
− |
4y = 0. |
||
285. |
3x |
|
|
2 |
|
|
+ |
|
+ 3 = 0 |
|
|
+ |
|
|
|
||
+ 3y |
|
− 6x + 4y − 1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Охарактеризовать геометрически множество точек плоскости, координаты которых |
|||||||
удовлетворяют условиям: |
|
||||||
286. |
x |
3)2 + (y |
− |
3)2 < 8, x > y. 287. x2 |
+ y2 + x + y > 0, y > 2x. |
||
288. |
( 2 − |
|
2 |
|
|
|
|
x + y |
|
− 2x < 0, |y| < 1/4. |
|
289. Составить уравнение окружности, проходящей через три не лежащие на одной прямой точки (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3).
290. Составить уравнение окружности, проходящей через точки M1 = (x1, y1) è M2 =
(x2, y2) и через начало координат при условии, что прямая M1M2 не проходит через начало координат.
291.Составить уравнение окружности, проходящей через точки (1, 1), (0, 2) и касающейся окружности (x − 5)2 + (y − 5)2 = 16.
292.Составить уравнение окружности, касающейся оси Ox в начале координат и касающейся окружности (x − 6)2 + (y − 13)2 = 25.
293.Составить уравнение окружности, проходящей через точки (x1, y1), (x2, y2), зная, что ее центр лежит на прямой Ax + By + C = 0.
294.Составить уравнение касательной к окружности (x − a)2 + (y − b)2 = r2 в точке
(x0, y0), лежащей на этой окружности.
295.Составить уравнения касательных к окружности (x − a)2 + (y − b)2 = r2, парал- лельных прямой Ax + By + C = 0.
296.Составить уравнение окружности, центр которой лежит на прямой x+2y+2 = 0
èкоторая пересекает ортогонально каждую из двух окружностей x2 + y2 − 6x = 0,
19
x2 + y2 + 8x = 0.
297. Составить уравнение окружности, пересекающей ортогонально три окружно-
ñòè: x2 + y2 + x + 2y = 0, x2 + y2 + 2x + 2y + 3 = 0, x2 + y2 + 3x + y − 1 = 0.
298. Составить уравнение окружности, проходящей через точку (1, −2) и точки пересечения прямой x − 7y + 10 = 0 с окружностью x2 + y2 − 2x + 4y − 20 = 0.
18.Преобразование координат на плоскости
299. Написать формулы перехода от одной системы координат к другой, если нача-
лом первой системы является вершина A параллелограмма ABCD, а базисом векто- |
|||
ðû AD, AB; началом второй системы является вершина C, а базисом CB, CD. |
|
||
−−→ −→ |
|
−−→ −−→ |
|
300. Даны две системы координат: Oxy è O0x0y0. Относительно первой системы на- |
|||
чало второй системы находится в точке O0 = (−4, 2), îñü O0x0 |
пересекает ось Ox в точке |
||
A = (2, 0), à îñü O0y0 пересекает ось Oy в точке B = (0, 8). Принимая за базисные век- |
|||
торы второй системы векторы |
O0A è O0B, выразить координаты произвольной точки |
||
|
−−→ −−→ |
|
|
относительно первой системы через ее координаты во второй системе. |
|
||
301. Даны две системы координат: Oxy è O0x0y0. Координаты x è y произвольной |
|||
точки относительно первой системы координат выражаются через ее координаты x0 |
è y0 |
||
относительно второй системы следующими формулами: x = 2x0−5y0+3, y = −x0+2y0 |
−2. |
||
Найти координаты начала второй системы и единичных векторов ее осей относитель- |
|||
но первой системы. |
|
|
|
302. Дан параллелограмм OACB. Рассмотрим две системы координат, принимая за |
начало обеих систем вершину параллелограмма O, за единичные векторы осей Ox è Oy |
|||||
первой системы соответственно стороны параллелограмма OA è OB, а за единичные |
|||||
|
|
|
|
−→ |
−−→ |
|
Ox0 |
|
Oy0 |
второй системы соответственно векторы |
−−→ −→ |
векторы осей |
|
è |
|
OK è OL (K è L |
|
середины сторон AC è BC). Найти координаты вершин параллелограмма во второй |
|||||
системе. |
|
|
|
|
|
303. В треугольнике OAB проведены медианы AD è BE, пересекающиеся в точке |
O0. Выразить координаты x è y произвольной точки относительно системы с началом |
|||||||
в точке |
O |
−→ |
−−→ |
0 |
, y |
0 |
в системе с |
|
и базисными векторами OA è OB через ее координаты x |
|
|||||
началом |
O0 |
−−→ |
−−→ |
|
|
|
|
|
и базисными векторами O0A è O0B. |
|
|
|
|
|
304. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC; O точка пере- |
||||||||||||
сечения ее боковых сторон, O0 точка пересечения диагоналей. Выразить координаты |
|||||||||||||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
−−→ |
|
è |
|
произвольной точки относительно системы с началом в точке |
|
и базисом OB, |
||||||||
OC |
|
|
|
|
|
|
O |
0 |
−−→ −−→ |
|
|
|
|
−→ |
через ее координаты в системе с началом |
|
и базисом O0B, O0C. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
305. Написать формулы преобразования координат, принимая за новые оси |
O0x0 è |
|||||||||||
O0y0 |
прямые 2x + y |
− |
4 = 0 è x |
− |
y + 2 = 0, а за единичную точку точку (3, 7). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
306.Написать уравнение прямой x − y − 5 = 0 в системе координат, осями которой служат прямые 2x − y + 7 = 0 (îñü O0y0), x + y − 4 = 0 (îñü O0x0), а единичной точкой
точка (0, 0).
307.Написать формулы преобразования прямоугольных координат, если начало новой системы находится в точке O0 = (−4, 2), угол от положительного направления оси
Ox до положительного направления оси O0x0 равен 120o и обе системы одинаково ори- ентированы.
308. В системе Oxy дана точка (6, −2); найти ее координаты в системе O0x0y0, ïîëó- чающейся из системы Oxy переносом начала в точку O0 = (3, −4) и поворотом на угол
− arccos 12/13.
20