Занятие 7

Тема. Основные алгоритмы в теории графов.

Цель. Ознакомление с экстремальными задачами на взвешенных графах. Усвоение понятия эффективности алгоритма. Изучение некоторых основных алгоритмов в теории графов и теории сетей.

Теоретические вопросы. Минимальное остовное дерево, кратчайший путь между двумя вершинами, паросочетания в двудольных графах, потоки в сетях.

Методические указания. Необходимо научить студента оценивать трудоемкость алгоритма с помощью символа . Для нахождения минимального остовного дерева целесообразно давать как «жадный» алгоритм, так и правило ближайшего соседа. Для нахождения кратчайшего пути между вершинами используется алгоритм Дейкстры. Нахождение максимального паросочетания следует проводить как методом чередующейся цепи, так и методом потока в сети.

Задачи.

1. Найти минимальное остовное дерево с помощью:

а) «жадного» алгоритма;

б) правила ближайшего соседа.

2. С помощью алгоритма Дейкстры найти кратчайший путь из вершины в вершину .

3. Методом чередующейся цепи достроить паросочетание до совершенного

4. С помощью алгоритма Форда-Фалксрсона найти максимальный поток в сети из в и минимальный разрез

Занятие 8

Тема. Метод «ветвей и границ» на примере задачи коммивояжера.

Цель. Познакомить студентов с важным подходом к решению дискретных экстремальных задач, применяемом в тех случаях, когда эффективного алгоритма для решения задачи неизвестно, а размеренность задачи невелика.

Теоретические вопросы. Постановка задачи коммивояжера, ее прикладные значения. Основная идея метода «ветвей и границ». Получение нижних оценок в задаче коммивояжера.

Методические указания. Решение задачи коммивояжера должно сопровождаться построением дерева решений, в каждой вершине которого записывается нижняя оценка решения. Кроме того, для наглядности около каждой вершины должен рисоваться ориентированный граф с отмеченными дугами, включаемыми в строящийся контур.

Задача.

Методом «ветвей и границ» решить симметричную задачу коммивояжера

Решение подобных задач рассмотрено в .

Занятие 9.

Тема. Помехоустойчивое кодирование.

Цель. Ознакомление с принципами помехоустойчивого кодирования информации.

Теоретические вопросы. Расстояние Хэмминга, конечные поля, линейное пространство над полем , линейные коды, порождающая и проверочная матрица, код Хэмминга.

Методические указания. Приступая к данной теме целесообразно напомнить студентам сведения из линейной алгебры, касающиеся подпространства и его ортогонального дополнения, а также объяснить арифметические действия в поле .

Задачи.

1. Пусть . Расстояние Хэмминга .

и - шары Хэмминга, радиуса 1. Найти .

2. Найти проверочную матрицу для линейного кода с порождающей матрицей

.

3. Найти кодовое расстояние линейного кода с порождающей матрицей

4. На приемном конце канала связи, использующего код Хэмминга с проверочной матрицей

,

было принято слово (1101010). Какое кодовое слово передавалось, если возможно не более одной ошибки?

Занятие 10

Тема. Криптография.

Цель. Ознакомление с принципами классической и современной криптографии.

Теоретические вопросы. Малая теорема Ферма, функция Эйлера, примитивный элемент конечного поля, дискретный логарифм, система RSA, электронная подпись.

Методические указания. Приступая к данной теме целесообразно сделать небольшой экскурс в историю криптографии и рассказать о значении криптографии в современном обществе. Затем следует напомнить об основных понятиях теории чисел таких как простое число, разложение на простые множители, наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, взаимно простые числа, алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя, функция Эйлера и Малая теорема Ферма. В качестве упражнения можно предложить студентам возвести число а в 53 степень с помощью 8 умножений. Это может быть осуществлено следующим образом

.

Задачи.

1. Разложить число п=3552377 на простые множители, если известно, что оно равно произведению двух разных простых чисел и функция Эйлера .

2. Сообщение

зашифровано по системе RSA с открытым ключом и . Кроме того, известно, что . Требуется расшифровать это сообщение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андерсон Д.А. Дискретная математика и комбинаторика. – М.: «Вильямс», 2003.

2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. – М.: «Наука», 2004.

3. Дориченко С.А., Ященко В.В. 25 этюдов в шифрах. – М.: «ТЕИС», 1994.

4. Зуев Ю.А. Лекции по дискретной математике. – М.: МГУТУ, 2004.

5. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. – М.: «Лаборатория базовых знаний», 2002.

11