4.2. Полиномиальная аппроксимация
Видим (рис. 4.1.3), что, хотя уравнение регрессии правильно отражает направление роста функции, оно является достаточно грубым приближением. Здесь необходимо воспользоваться более сложной аппроксимирующей зависимостью. В этом качестве чаще всего используют степенные полиномы разной степени вида
Y= a+bX+cX2+dX3+eX4+ ...
Розыск коэффициентов такого уравнения уже не может быть осуществлен способами, описанными выше. Однако средства деловой графики позволяют найти уравнения регрессии (до 6 степени включительно) и не прибегая к вычислениям. Если, после того как была построена кривая функции Y(X), щелкнуть на ней правой кнопкой мыши, в появившемся контекстном меню можно выбрать пункт Добавить линию тренда, который предъявляет окно Линия тренда. Здесь можно выбрать вид уравнения аппроксимации и его степень, а если во вкладке Параметры установить флаг Показывать уравнение на диаграмме, то на графике мы увидим не только линию тренда, но и его уравнение. Здесь же можно визуально оценить поведение анализируемого процесса в будущем/прошлом, если установить Прогноз вперед/назад на заданное число единиц независимого аргумента Х. К сожалению, предъявляемая функция отображается как текст, и не может быть непосредственно использована в вычислениях.
Графическое отображение результатов вычислений приведено на рис. 4.2.1 (исходные точки обозначены прямоугольниками). Оно также подтверждает этот вывод – линии уравнений более высокой степени находятся ближе к исследуемым точкам.
Увеличение степени аппроксимирующего полинома снижает погрешность. Самая высокая возможная степень такого уравнения на единицу меньше числа точек (в рассмотренном примере теоретически возможен полином девятой степени). При этом аппроксимирующая кривая пройдет в точности через все наши точки. На практике, однако, нет необходимости стремиться к полному устранению погрешности, поскольку и сами данные никогда не являются точными. Наоборот, нужно стараться, конечно, без потери качества, ограничиться как можно меньшей степенью кривой. Применение описанной методики позволяет в качестве уравнения регрессии использовать не только степенные полиномы, но и другие функции.
Тест. 4.2.1. Что является критерием подбора аппроксимирующей функции? 1). минимум суммы отклонений, 2). минимум суммы квадратов отклонений, 3). минимум максимальной погрешности в диапазоне.
Тест. 4.2.2. Зачем нужна аппроксимация? 1). чтобы прогнозировать поведение функции, 2). чтобы найти значение функции в точках, где не делалось измерений.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П1. Интерфейс среды qbasic
Интерфейс среды Бейсика состоит из следующих компонентов.
Главное горизонтальное меню системы. Чтобы войти в меню необходимо нажать клавишу Alt или воспользоваться мышью.
Рабочее окно. Здесь вводятся и отлаживаются программы. В заголовке окна отображается имя файла-программы, с которой вы работаете (в начальный момент – Untitled(безымянный)).
Линейки вертикальной и горизонтальной прокрутки. Зафиксировав мышь в любом месте полосы можно вызвать быстрое перемещение текста программы в желаемом направлении. Обе линейки завершаются стрелками перемещения на одну позицию в заданном направлении.
Указатели (бегунки) текущего положения курсора на экране. С помощью мыши можно отбуксировать их, вызвав соответствующее перемещение изображения на экране.
Указатель распахивания рабочего окна во весь экран. Может использоваться только с мышью.
Окно немедленного выполнения (Immediate).Для входа в него следует нажать клавишу F6. Введенные здесь операторы Бейсика будут выполнены немедленно после нажатия клавиши Enter. Это окно удобно использовать при отладке программ и различных экспериментах. Например, применяя оператор Print, здесь можно быстро осуществлять вычисления формул.
Указатели-подсказки возможных действий в окне, чувствительные к нажатию мыши. В данный момент на рисунке они соответствуют нахождению курсора в рабочем окне. При переключении в нижнее окно, подсказки изменяются с учетом новых возможностей программиста в этом окне.
Индикаторы текущего положения курсора (сейчас 1-я строка, 4-й столбец) и положения клавиш: Num Lock (буква N) и Capc Lock (буква С).