§1.3 Симплекс-метод. Понятие о методе искусственного базиса.

Симплексный метод – метод последовательного улучшения решения (плана) и нахождения оптимального решения (плана).

Он заключается в том, что в начале находится любое допустимое базисное решение, соответствующее одной из угловых точек многогранника решений, а затем это решение целенаправленно улучшается, переходя к новому базисному решению в соседней угловой точке, при котором значение целевой функции не уменьшается (не увеличивается) в задаче на максимум (минимум), пока не будет получено оптимальное решение. Этот метод, является универсальным, с помощью которого можно решить любую задачу линейного программирования.

Все необходимые базисные решения целесообразно получать с помощью таблиц Гаусса. В первый блок таблицы заносятся данные исходной задачи. При необходимости некоторые уравнения системы ограничений следует умножать на -1 (чтобы все свободные члены были неотрицательными).

Последнюю строку, которую назовем индексной, заполняем коэффициентами целевой функции, представленной в виде уравнения

,

где – свободный член L(X). Вместо записываем в первом блоке только , а в последующих блоках – результаты вычислений.

		…		Св. член
		…
…	…	…	…	…
		…
		…

Каждая итерация, т.е. переход от одного блока таблицы к другому осуществляется известными элементарными преобразованиями Жордана – Гаусса для строк. Они сводятся к следующим действиям:

1. Выбирают p-й разрешающий столбец из условия, что (в задаче на максимум) и хотя бы один элемент в нем ;

2. Выбирают q-ю разрешающую строку из условия , для .

3. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца выбирается разрешающий коэффициент .

4. Разрешающая строка делится на .

5. Все остальные элементы таблицы пересчитываются по формулам

,

,

, , .

Теорема 1. (Основная теорема симплекс-метода) Если после выполнения очередной итерации:

1. Найдется хотя бы одна отрицательная оценка (при решении задачи на максимум) и в каждом столбце с такой оценкой окажется хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить решение, выполнив следующую итерацию;

2. Найдется хотя бы одна отрицательная оценка, столбец которой не содержит положительных элементов, то функция L не ограничена в области допустимых решений ();

3. Все оценки окажутся неотрицательными, тогда достигнуто оптимальное решение.

Опорным решением задачи линейного программирования называется любое допустимое решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.

Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга r системы векторов условий (числа линейно независимых уравнений системы ограничений). Будем в дальнейшем считать, что система ограничений состоит из линейно независимых уравнений, т.е. r=m.

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно mто решение называется невырожденным, в противном случае (меньше m) – вырожденным.

Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, включающий в свой состав векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного решения.

Теорема 2. (Оптимальности решения) Допустимое базисное решение является оптимальным в том и только в том случае, когда среди коэффициентов индексной строки нет отрицательных в задаче на максимум (нет положительных в задаче на минимум).

Если коэффициенты индексной строки имеют разные знаки, то соответствующее допустимое базисное решение не является оптимальным как в задаче на максимум, так и в задаче на минимум, и следует переходить к другому базисному решению.