Тема 4 Системы массового обслуживания. Теория игр.

§4.1 Марковские случайные процессы. Понятие системы массового обслуживания. Классификация систем.

Теория массового обслуживания широко применяется в сфере обслуживания, в страховых организациях, банках, налоговых инспекциях, и в современных высоких технологиях.

В качестве аппарата теории систем массового обслуживания используют понятия теории случайных величин и теории случайных процессов.

Опр. Случайным процессом, или случайной функцией S(t), называется функция, которая каждому моменту времени t из некоторого временного промежутка ставит в соответствие единственую случайную величину S(t).

Опр. Системой называется целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя разделить на независимые подмножества. Элементы и связи в системе меняются во времени и характеризуют в каждый момент времени t состояние S(t) системы.

Опр. Если состояния системы S изменяются во времени случайным образом, то будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс. По множеству состояний системы S протекающий в ней случайный процесс может быть дискретным или непрерывным. Далее будем рассматривать только дискретные случайные процессы при которых система переходит из состояния в состояние скачком.

Опр. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским, если обладает свойством отсутствия последействия, или отсутствия памяти, т.е. для любого фиксированного момента времени вероятность состояния в будущем (при ) зависит только от состояния системы в настоящем (при ) и не зависит от того, как развивался этот процесс в прошлом (при ).

Опр. Потоком называется последовательность событий, наступающих одно за другим, в общем случае, в случайные моменты времени. Среднее число событий в потоке за единицу времени называется интенсивностью, или средней плотностью потока.

Опр. События в потоке называются однородными, если они различаются только по моментам времени их наступления и неоднородными в противном случае.

Опр. Поток событий называется потоком без последействий, или потоком без памяти, если для любой пары непересекающихся промежутков времени число событий за один из этих промежутков не зависит от числа событий за другой.

Опр. Поток событий называется одинарным, если вероятность наступления за достаточно малый (элементарный) промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события за этот промежуток.

Опр. Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления какого-либо числа событий за некоторый промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала.

Опр. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Опр. Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последействия и ординарности, называется пуассоновским. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим.

Теорема 5. Для простейшего потока событий с интенсивностью случайное число событий X(k)=m, m=1,2,… наступающих за промежуток времени k, распределено по закону Пуассона

.

Будем рассматривать случайные процессы с непрерывным временем. Пусть система S имеет n возможных состояний. Тогда вероятностью i-го состояния системы в момент времени t будем называть вероятность , i=1,2,…n события , состоящего в том, что система S в момент времени t находится в состоянии . При этом выполнено нормировочное условие

, .

В процессе с непрерывным временем рассматривают плотности вероятности перехода системы S из состояния в состояние как предел отношения .

Здесь вероятность того, что система S, находившаяся в момент времени t в состоянии , за малый промежуток времени перейдет в состояние .

Отсюда выводят уравнения Колмогорова – системы, содержащей n дифференциальных уравнений для определения вероятностей .Эти уравнения являются основой теории массового обслуживания.

Системы массового обслуживания.

СМО – представляют собой системы специфического вида, основой которых является определенное число обслуживающих устройств – каналов обслуживания. Роль каналов обслуживания в реальности выполняют приборы, операторы, линии связи и пр. примерами таких систем могут быть телевизионные станциии, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины и т.п.

Структура и классификация СМО. СМО предназначены для обслуживания потока заявок, представляющих последовательность событий, наступающих нерегулярно и в заранее не известные и случайные моменты времени. Обслуживание заявок также имеет непостоянный характер, происходит в случайные промежутки времени и зависит от многих и даже неизвестных причин. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания обуславливает неравномерность загрузки СМО.

Основными элементами СМО являются:

1. входной поток заявок;

2. очередь;

3. каналы обслуживания;

4. выходной поток заявок (обслуженные заявки).

Эффективность функционирования СМО определяется ее пропускной способностью – относительным числом обслуженных заявок.

По числу каналов n все СМО разделяются на одноканальные (n=1) многоканальные (n>1). Многокнальные СМО могут быть как однородными (по каналам) так и разнородными (по продолжительности обслуживания заявок).

По дисциплине обслуживания различают три класса СМО:

1. СМО с отказами (нулевое ожидание или явные потери) – «отказная» заявка вновь поступает в систему, чтобы ее обслужили;

2. СМО с ожиданием (неограниченное ожидание или очередь) – при занятости системы заявка поступает в очередь и в результате будет выполнена (торговля, сфера обслуживания);

3. СМО смешанного типа (ограниченное ожидание) – имеется ограничение на длину очереди (сервис по обслуживанию автомобилей) или на время пребывания заявки в СМО;

СМО также могут быть открытые (поток заявок не ограничен), упорядоченные (заявки обслуживаются в порядке их поступления) и однофазные (однородные каналы выполняют одну и ту же операцию).

Цель теории массового обслуживания – выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, оптимальной организации работы и регулированию потока заявок.

Одноканальная СМО с отказами.

Пусть СМО включает в себя только один канал обслуживания, и на ее вход подается пуассоновский поток заявок с интенсивностью 𝛌, Т- непрерывная случайная величина. распределенная по закону Пуассона, характеризующая время между соседними заявками. Величина - время обслуживания каналом одной заявки, также распределенная по закону Пуассона с параметром μ: .

СМО может находится в одном из двух состояний: – канал вободен (простаивает) или – канал занят. Из состояния в состояние систему переводит поток входящих заявок, а из состояния - поток обслуживаний. Плотнисти вероятностей перехода из состояния в состояние и обратно равны соответственно 𝛌 и μ. Граф состояний показан на рисунке:

𝛌

μ

Пусть и - вероятности событий, состоящих в том, что в момент времени t СМО находится в состояниях соответственно (вероятности состояний). Очевидно, что справедливо нормировочное условие:

.

В силу того, что случайный процесс. протекающий в СМО, является марковским, вероятности и удовлетворяют системе уравнений Колмогорова

.

Постановка нормировочного условия в эту систему приводит к одному обыкновенному дифференциальному уравнению относительно :

, .

При начальном условии, что в начальный момент времени t=0 канал свободен, т.е. , , получаем решение уравнения:

.

Учитывая нормировочное условие получаем формулу для :

.

Предельный режим работы.

Из последних двух формул видно, что с ростом времени t вторые слагаемые в числителе стремятся к нулю. Т.е. и заметно отличны от постоянных величин лишь в начальный интервал времени после начала работы СМО. Т.к. мы рассматриваем предельный режим СМО, то естественно рассматривать предельные значения вероятностей состояний СМО, т.е. при . Тогда из последних равенств получаем предельным переходом:

,

.

Необходимо отметить. что при μ<𝛌 вероятность отказа выше 0,5 и превышает вероятность обслуживания.

Расчет основных показателей эффективности работы СМО.

Т.к. вероятность обслуживания поступивших заявок равна , а относительная пропускная способность Q равна отношению среднего числа обслуженных заявок к среднему числу поступивших заявок за единицу времени, , т.е. для одноканальной СМО с отказами

.

Абсолютная пропускная способнотсь СМО – это среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, или интенсивность выходящего потока обслуженных заявок, иными словами, это часть интенсивности входящего потока заявок:

.

Вероятнотсь отказа в обслуживании заявки, когда канал занят это вероятность :

.

Среднее время обслуживания заявки, есть величина, обратная μ:

.

Аналогично среднее время простоя канала

.

Средняе время пребывания заявки в системе рассчитывается по формуле:

.

Пример. Телефонная АТС имеет одну линию, на которую в среднем приходит 0,8 вызова в минуту. Среднее время разговора 2 мин. Вызов, пришедший во время разговора, не обслуживается. Считая потоки заявок пуассоновкими, найти абсолютную и относительную пропускные способности станции и вероятность отказа абоненту.

Решение.

Телефонную станцию рассматриваем как одноканальную СМО с отказами, интенсивности поступающего и обслуженного потоков заявок равны соотвтственно 𝛌=0,8, μ=0,5.

Тогда, , .

Заметим, что абсолютная пропускная способность СМО оказалась меньше интенсивности μ потока обслуживания.