Указания к решению задач контрольной работы №6

К задаче 6.1

В корзине 4 яблока одного сорта и 5 яблок второго сорта. Наугад берут 2 яблока. Найти вероятность того, что взятые яблоки разных сортов.

Пусть событие А – взятые из корзины два яблока разных сортов.

Всего яблок в корзине 9, из них сочетаний по два , то есть число всех возможных исходов.

Событию А благоприятствуют пары, элементами которых являются яблоки разных сортов. Согласно принципу умножения количество таких пар равно

Используя классическое определение вероятности, получим искомую вероятность события А

К задаче 6.2

Устройство состоит из 10 блоков. Надежность каждого блока равна 0,8. Блоки могут выходить из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что а) откажут два блока; б) откажет хотя бы один блок; откажут не меньше двух блоков.

Пусть событие А – отказ работы блока. Тогда вероятность события А по условию равна

, тогда

Согласно условию задачи . Используя формулу Бернулли

получим:

К задаче 6.3

Электростанция обслуживает сеть из 10000 ламп. Вероятность включения каждой из них 0,6. Найти вероятность одновременного включения от 5900 до 6100 ламп.

Для нахождения вероятности используем формулы интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

где – интегральная функция Лапласа,

По формуле (2) имеем

Тогда по формуле (1) искомая вероятность равна

Значение интегральной функции Лапласа взято из Приложения 4 на с. 42 данного пособия и использовано свойство нечетности функции : .

К задаче 6.4

а) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения

Найдем дифференциальную функцию распределения :

Вероятность попадания случайной величины в интервал, например, равна

б) Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

Найдем значение параметра a из условия

то есть

отсюда .

Найдем интегральную функцию распределения

Если , то

Если , то

Таким образом,

Определим числовые характеристики случайной величины X по следующим формулам математического ожидания

и дисперсии

Вычислим математическое ожидание по формуле (3):

и дисперсию по формуле (4):

Построим графики интегральной функции распределения (рис. 5) и дифференциальной функции распределения(рис. 6):

Найдем вероятность того, что случайная величина попадет в интервал. Используем для этого формулу

в интервале ; вне этого интервала. Следовательно, искомая вероятность

К задаче 6.5

Данные наблюдений представлены в виде вариационного ряда (данные сгруппированы):

	1	15	20	25	30	35
	5	11	18	30	26	10

Объем выборки , число групп выборки. Находим выборочное среднее:

Аналогично найдем величину

Тогда выборочная дисперсия

а выборочное среднеквадратическое отклонение .

Считая, что исследуемый количественный признак является непрерывной нормально распределенной случайной величиной с неизвестными параметрами и, выпишем эмпирическую плотность его распределения с учетом найденных выборочных статистик

Здесь неизвестное математическое ожидание заменено его точечной оценкой – выборочной средней, а среднеквадратическое отклонение– на выборочное среднеквадратическое отклонение. Получим эмпирическую плотность

По результатам выборочного исследования можно прогнозировать параметры генеральной совокупности как с помощью точечных оценок, так и методом интервального оценивания. Интервальная оценка определяется двумя числами – концами интервала, в котором с заданной наперед вероятностью (надежностью) окажется неизвестный параметр.

Найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью. Если параметрнеизвестен, то доверительный интервал будет следующий:

Подставим в это неравенство – выборочное среднее,– выборочное среднее среднеквадратическое отклонение,– объем выборки. По уровню надежностии объему выборкинайдем параметриз Приложения 5 на с. 43 данного пособия. Получим

Величина называется точностью оценки и характеризует ширину доверительного интервала. Итак,то есть неизвестное математическое ожиданиезаключено в доверительном интервалес надежностью 0,95. Полученный по данной выборке интервал покрывает неизвестный параметрс вероятностью 0,95.