
- •Федеральное агентство по образованию
- •Содержание
- •1.1. Сходимость и сумма ряда.
- •Примеры решения задач
- •1.2. Достаточные признаки сходимости Примеры решения задач
- •1.3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
- •Примеры решения задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 2. Функциональные ряды.
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •2.1. Область сходимости функционального ряда Примеры решения задач
- •2.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда Примеры решения задач
- •2.3. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Примеры решения задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 3. Ряды Фурье Контрольные вопросы для самопроверки
- •Примеры решения задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Литература
Задания для самостоятельной работы
Разложить в ряд Фурье функцию с периодом
.Изобразить график функции:
1)
2)
3)
Разложить в ряд Фурье функцию
с периодом
в заданном интервале.Изобразить график функции:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Разложить в ряд Фурье функцию
с периодом
в заданном интервале. Изобразить график функции:
1);
2) ;
3) ;
2) .
Разложить в ряд Фурье функцию
в заданном интервале. Изобразить график функции:
1) ;
2)
;
3) .
Приложение 1. Числовые ряды
1 |
Числовой ряд: |
| |
2 |
n-я частичная сумма ряда: |
| |
3 |
Ряд сходящийся: |
| |
4 |
Необходимое условие сходимости ряда |
Если
ряд | |
5 |
Достаточное условие расходимости ряда |
| |
6 |
Геометрический ряд |
ряд
сходится при ряд
расходится при | |
7 |
Гармонический ряд |
ряд расходящийся | |
8 |
Обобщенный гармонический ряд |
ряд
сходящийся при ряд
расходящийся при | |
9 |
Знакоположительный ряд |
| |
10 |
Признаки
сравнения для рядов |
а)
если ряд (2) сходящийся, то ряд (1) сходящийся; если ряд (1) расходящийся, то ряд (2) расходящийся б)
если | |
| |||
Достаточные
признаки сходимости для ряда | |||
11 |
Признак Даламбера |
| |
12 |
Радикальный признак Коши |
| |
13 |
Интегральный признак Коши |
Сущ.
Тогда
интеграл | |
14 |
Знакопеременный ряд |
| |
15 |
Знакочередующийся ряд |
| |
16 |
Признак Лейбница |
Ряд
| |
18 |
Достаточный признак сходимости |
Если
ряд | |
19 |
Ряд
|
Если
ряд | |
20 |
Ряд
|
Если
ряд
|
Приложение 2. Функциональные ряды. Степенные ряды
1 |
Функциональный ряд |
|
2 |
n-я частичная сумма ряда |
|
3 |
Сумма ряда |
|
4 |
n-й остаток ряда |
|
5 |
Степенной ряд |
где
|
6 |
Радиус сходимости степенного ряда |
|
7 |
Ряд
Тейлора для функции |
|
8 |
Ряд
Маклорена для функции |
|
Формулы разложения элементарных функций в ряд Маклорена | ||
9 |
| |
10 |
| |
11 |
| |
12 |
| |
13 |
| |
14 |
| |
15 |
| |
16 |
| |
17 |
|
Приложение 3. Ряды Фурье
1 |
Ряд
Фурье для периодической функции |
где
|
2 |
Ряд
Фурье для четной периодической функции
|
где
|
3 |
Ряд
Фурье для нечетной периодической
функции |
где
|
4 |
Ряд
Фурье для периодической функции |
где
|
5 |
Ряд
Фурье для четной периодической функции
|
где
|
6 |
Ряд
Фурье для нечетной периодической
функции |
где
|