1.3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость
Примеры решения задач
Пример 1. Исследовать ряды на сходимость:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а) Данный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают, так как
и
.
Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.
б) Данный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:
;
.
Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.
в)
Так как
,
то не выполняется необходимый признак
сходимости ряда, следовательно, данный
ряд расходится.
г) Члены данного знакочередующегося ряда не убывают по абсолютной величине и предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно, условия признака Лейбница не выполняются, значит, ряд расходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость данные знакопеременные ряды и установить характер сходимости (абсолютная, условная):
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
Данный ряд является знакопеременным.
Составим ряд из абсолютных величин
членов данного ряда:
.
Сравним этот ряд
с рядом
,
который сходится, так как является
обобщенным гармоническим рядом
при
.
Учитываем, что
.
Следовательно,
ряд, составленный из абсолютных величин
членов данного ряда, сходится по первому
признаку сравнения. Отсюда следует, что
данный ряд
абсолютно сходится.
б) Данный ряд знакочередующийся.
Составим ряд из
абсолютных величин членов данного ряда:
.
Исследуем его на сходимость с помощью
признака Даламбера.
;
.
.
,
следовательно, ряд, составленный из
абсолютных величин членов данного ряда,
сходится. Значит, ряд абсолютно сходится.
в)
Ряд знакочередующийся. Составим ряд из
абсолютных величин членов данного ряда:
.
Этот ряд расходится,
так как является обобщенным гармоническим
рядом
при
.
Следовательно, ряд не сходится абсолютно.
Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов:
;
.
Следовательно, ряд условно сходящийся.
г) Данный ряд знакочередующийся.
Так как
,
то не выполняется необходимый признак
сходимости ряда, следовательно, данный
ряд расходится.
Задания для самостоятельной работы
Написать формулу общего члена для данного ряда:
1)
2)
3)
4)
5)
.
Найти частичную сумму Sn ряда, доказать его сходимость (по определению), найти сумму S ряда:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Исследовать на сходимость ряд с помощью достаточного признака расходимости:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Исследовать на сходимость ряд с помощью признаков сравнения:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
.
Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
Исследовать на сходимость ряд с помощью радикального признака Коши:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
.
1.7. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши:
1)
; 2)
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
1.8. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
.