Контрольные вопросы.

1. Что называется скалярным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторов-сомножителей?

2. По какой формуле можно вычислить угол между двумя векторами?

1.5.3. Векторное произведение.

Векторным произведением вектораана векторbназывается векторс = а b, определяемый следующим образом (рис 1.6):

1. |с | = с = ab sin (площади параллелограмма, построенного нааиb; – угол между векторами)

2. сперпендикуляренаиb

3. векторыа,b,спосле приведения к общему началу образуют (так же какi, j, к) правую тройку векторов.

(Это значит, что если смотреть с конца векторас на векторыа иb, то векторадля совмещения с векторомbповорачивается против часовой стрелки через наименьший угол.)

Свойства векторного произведения.

1. а b = -b а(векторное произведение не обладает переместительным свойством).

2. а b = 0еслиа = 0, b = 0илиа ||b ( = 0)

3. (mа ) b = а  (mb) = mа b(сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю)

4. а  (b +с ) = а b +а с(распределительное свойство)

Легко убедиться (см. свойства 1 и 2), что i i = j j = к к = 0;

i j = –j  i = к; j к = –к j = i;  i к = – i к = j

Эти соотношения наглядно иллюстрируются следующим рисунком –

если два вектора перемножаются «против часовой стрелки»

(положительное направление обхода окружности) – третий

вектор получается «с плюсом»: j к =i; если “по

часовой” – с минусом: к  j = –i.

Найдем векторное произведение, если вектора заданы своими координатами. а b = (ia_x + ja_y + кa_z) (ib_x + jb_y + кb_z) = i ia_xb_x + +j ia_yb_x +к ja_zb_x +i ja_xb_y +j ja_yb_y + к ja_zb_y +j к a_xb_z + +j кa_yb_z +к кa_zb_z =i (a_yb_z – a_zb_y) – j (a_xb_z – a_zb_x) +к (a_xb_y – a_yb_x).

Сравнив полученное выражение с (1.6), легко убедиться в том, что векторное произведение векторов аиb, заданных в разложении по декартову базису, удобнее всего вычислять по формуле

(1.22)

Контрольные вопросы.

1. Что называется векторным произведением векторов? Каковы его свойства и выражение через координаты векторой-сомножителей?

2. Каковы условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов и как они выражаются через координаты векторов?

Тест 7.

1. Определить угол между векторами ии указать верный ответ:

а) , б).

2. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7,3,4),В(1,0,6),С(4,5,-2) и выбрать верный ответ:

а) 24, б) 24,5.

1.5.4. Смешанное (векторно – скалярное) произведение векторов.

Смешанным произведением векторов а,b,сназывают скалярное произведение вектораа bна векторс, т.е.аbс = (а b)с (1.23)

Свойства смешанного произведения:

1. смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

2. смешанное произведение не изменится, если знаки векторного и скалярного произведения поменять местами, т.е (а b)с = а (b с).

3. смешанное произведение не меняется, если перемножаемые векторы переставлять в круговом порядке: а bс = bса = са b

4. при перестановке двух любых векторов смешанное произведение меняет знак: bа с = –а bс ; с bа = –а bс; а сb = –а bс

Если векторы заданы своими координатами, то: (1.24)

Условие компланарности векторов принимает вид:

(1.25)

(Компланарные вектора параллельны одной плоскости; векторное произведение двух векторов даст вектор, перпендикулярный этой плоскости и, соответственно, третьему вектору и их скалярное произведение будет равно нулю).

Объемы призмы V₁и пирамидыV₂построенных наа,b,сопределятся так:V₁ = |а bс | иV₂ = 1 / 6 |а bс |(1.26).