Контрольные вопросы.

1. Что называется матрицей? Приведите примеры.

2. Какие действия установлены над матрицами? Как они определяются и каковы их основные свойства?

3. Какая матрица называется обратной для данной матрицы А? Для любой ли матрицы существует обратная? Если нет, то какому условию должна удовлетворять данная матрица, чтобы для неё существовала обратная матрица? Как найти обратную матрицу?

Тест №3.

Найти матрицу, обратную данной и указать верный ответ:

а) ; б)

1.4.2. Решение уравнений. Определение операции умножения матриц позволяет предложить матричный способ решения системы линейных уравнений.

Систему уравнений можно представить в матричной форме АХ = В, где

Если А  0, то решение системы запишется в видеХ = А^–1Вт.е. для нахождения матрицы – столбца неизвестных надо умножить обратную матрицу системы на матрицу-столбец свободных членов.

Контрольные вопросы.

1. Что называется матрицей системы линейных уравнений и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2. Опишите матричный способ решения систем линейных уравнений

Тест 4.

Найти решение системы с помощью обратной матрицы

а) б)

1.4.3. Ранг матрицы. Пусть дана прямоугольная матрицаА, содержащаяmстрок иnстолбцов. Выделим в этой матрице произвольным образомкстрок икстолбцов(к  m, к  n). Определительк– ого порядка, составленный из элементов матрицыА, расположенных на пересечении выделенных столбцов и строк, называетсяминоромк– ого порядка матрицыА. Очевидно, что можно составить миноры любого порядка, не превышающегоmиn, причем (в общем случае) по крайней мере некоторые из них не будут равны нулю.РангомматрицыАназываютнаибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.(Если все элементы матрицы равны нулю, то и ранг ее принимают равным нулю). Отличные от нуля миноры, порядок которых равен рангу матрицы, называютбазисными минорами. Ранг матрицы обозначают символомr(А). Еслиr(A) = r(B), то матрицыАиВназываютэквивалентными(Символическая запись: А  В). Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Это можно использовать при вычислении ранга матрицы. Под элементарными преобразованиями понимают:

1. Замену строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;

2. Перестановку строк;

3. Вычеркивание строк, все элементы которых равны нулю;

4. Умножение какой – либо строки на отличное от нуля число;

5. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Пример: Найти ранг матрицы Сложим соответствующие

элементы 1 и 3 строк, а затем разделим на 4 элементы «обновленной» первой строки. Из элементов 1 строки вычтем соответствующие элементы 2 строки, после чего вычеркнем 1 строку.

Ранг последней матрицы равен 2 (действительно,

Следовательно и ранг исходной матрицы r(A) = 2.

Можно показать, что ранг матрицы равен числу не обнуляемых элементарными преобразованиями строк.

Примечание:

Элементарные преобразования матриц позволяют упростить вычисление обратной матрицы. Припишем к матрице Аединичную матрицуЕтой же размерности, отделённую вертикальной чертой. Умножив обе частисдвоенной матрицыА|E наА^-1получим Таким образом, если элементарными преобразованиями сдвоенной матрицы левую часть её привести к видуЕ, то в правой части окажется искомая обратная матрицаА^-1.

Пример: А=; НайтиА^-1.

Составим сдвоенную матрицу и преобразуем её.

; Т.о. А^-1 =. В (1) преобразовании к 1 и 2 строкам прибавляем 3; во (2) прибавляем к 3 строке 1, а из 1 вычитаем 2, умноженную на 4; в (3) вычитаем из 3 строки 2, умноженную на 6; в (4) прибавляем к 2 строке 3, а 3 умножаем на -1.

Проверка показывает, чтоА^-1найдена правильно.