Контрольные вопросы.

1. Что называется уравнением линии. Приведите примеры.

2. Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии?

3. Как Найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями?

4. Что называется порядком алгебраической линии?

5. По какому признаку можно определить, является ли данное уравнение второго порядка уравнением окружности в декартовой системе координат? Как в этом случае можно найти её центр и радиус?

6. Сформулируйте определения эллипса, гиперболы и параболы. Каковы канонические уравнения этих линий и при каком расположении осей координат имеют место эти уравнения?

7. Что называется эксцентриситетом эллипса и гиперболы и какие значения он может иметь для каждой из этих линий?

Тест 10.

1. Написать уравнение окружности с центром С(-4,3), радиусом R=5. Лежат ли на этой окружности точки А(-1,-1), В(3,2), О(0,0)? Указать верный ответ.

а) , А и О на окружности, В – вне её;

б) , В и О на окружности, А – вне её.

2. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3. Выбрать правильный ответ:

а) ; б).

3. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами гиперболы .Выбрать верный ответ:

а). б)

4. Построить параболы, заданные уравнениями: 1) 2). Найти фокусы и уравнения директрис. Выбрать верный ответ:

1. а) ; б).

2) а) ; б)

1.7. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка.

1. Плоскость.

Рассмотрим в декартовом базисе произвольную плоскость Ри векторнормали(перпендикулярный) к нейn (А, В, С). Возьмем в этой плоскости произвольную фиксированную точкуМ₀(х₀,у₀, z₀)и текущую точкуМ(х, у, z). Очевидно, что n = 0(1.53)

(см.(1.20) при =/2). Этоуравнение плоскости в векторной форме. Переходя к координатам, получимобщее уравнение плоскости

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0 Ах + Ву + Сz + D = 0(1.54).

(D = –Ах₀– Ву₀ – Сz₀; А² + В² + С²  0).

Можно показать, что в декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет плоскость, (т.е. плоскость есть поверхность первого порядка и поверхность первого порядка есть плоскость).

Рассмотрим некоторые частные случаи расположения плоскости, заданной общим уравнением:

А = 0– параллельна осиОх; В = 0– параллельна осиОу; С = 0– параллельна осиОz. (Такие плоскости, перпендикулярные одной из координатных плоскостей, называютпроектирующими);D = 0– проходит через начало координат;А = В = 0– перпендикулярна осиОz(параллельна плоскостихОу);А = В = D = 0– совпадает с плоскостьюхОу (z = 0). Аналогично анализируются все остальные случаи.

Если D  0, то, разделив обе части (1.54) на -D,можно привести уравнение плоскости к виду:(1.55),

а = – D /А, b = –D/ В, с =–D /С. Соотношение (1.55) называетcяуравнением плоскости в отрезках;а, b, с– абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осямиОх, Оу, Оz, а|a|, |b|, |c|– длины отрезков, отсекаемых плоскостью на соответствующих осях от начала координат.

Умножая обе части (1.54) на нормирующий множитель (D < 0)получимнормальное уравнение плоскости:

xcos + ycos + zcos – p = 0 (1.56)

где cos = А, cos = В, cos = С– направляющие косинусы нормали к плоскости,р– расстояние до плоскости от начала координат.

Рассмотрим основные соотношения, используемые в расчетах. Угол между плоскостямиА₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0легко определить как угол между нормалями этих плоскостейn₁ (А₁, В₁, С₁) и

n₂ (А₂, В₂, С₂): (1.57)

Из (1.57) легко получить условие перпендикулярности

А₁А₂ + В₁ В₂ + С₁ С₂ = 0(1.58)

и параллельности (1.59) плоскостей и их нормалей.

Расстояние от произвольной точкиМ₀(х₀, у₀, z₀)до плоскости (1.54)

определяется выражением: (1.60)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точкиМ₁(х₁, у₁, z₁),М₂(х₂, у₂, z₂), М₃(х₃, у₃, z₃)удобнее всего записать используя условие компланарности (1.25) векторов где М(х, у, z)– текущая точка плоскости.

(1.61)

Приведем уравнение пучка плоскостей(т.е. множества плоскостей, проходящих через одну прямую) – его удобно использовать в ряде задач.

(А₁х + В₁у + С₁z + D₁) + (А₂х + В₂у + С₂z + D₂) = 0(1.62)

Где   R, а в скобках - уравнения двух любых плоскостей пучка.