Контрольные вопросы.

1. Каков характерный признак, отличающий уравнение прямой в декартовой системе координат от уравнений других линий?

2. Как расположена прямая относительно декартовой системы координат, если в её уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) одна из координат и свободный член?

3. Как вычислить угол между двумя прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?

4. Как можно найти угловой коэффициент прямой, если известно её общее уравнение? Можно ли найти угловой коэффициент прямой, не составляя её уравнения, если известны две её точки? Если да, то как это сделать?

5. Напишите уравнение прямой проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две данные точки.

6. Напишите формулы, выражающие координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, через координаты его концов.

7. Напишите формулы, выражающие координаты: а) середины отрезка через координаты его концов; б) центра тяжести треугольника через координаты его вершин.

8. Напишите формулу, выражающую площадь треугольника через координаты его вершин.

9. Как найти расстояние от данной точки до прямой, заданной уравнением общего вида?

10. Напишите уравнения осей декартовой системы координат.

Тест 9.

1. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2,0), В(5,3), С(2,6) и указать верный ответ:

а) 9 кв.ед., б) 8 кв. ед.

2. Определить параметры k и b для каждой из прямых:

1) ;

2) ; 3); 4)и указать верные ответы:

1. а) ; б); 2) а); б);

3) а) ; б); 4) а); б).

1.6.2. Кривые второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости хОу имеет вид

Ах² + Вху + Су² + 2Дх + 2Еу + F = 0(1.40)

(Порядок кривой определяется наивысшей степенью неизвестных, входящих в ее уравнение). Можно показать, что это уравнение описывает либо две пересекающиеся прямые, либо одну из следующих кривых: эллипс, гиперболу или параболу (включая вырожденные случаи). В любом случае кривую можно определить как геометрическое место точек, обладающих некоторым общим свойством. Используя преобразование координат (изменяя расположение кривой по отношению к осям координат) можно сделать так, чтобы в новых координатах уравнение кривой принимало наиболее простую и удобную для анализа форму. Рассмотрим последовательно кривые, именно так расположенные на плоскости хОу.

Эллипс. Окружность.

Эллипсом называют множество (геометрическое место) точек, суммы расстояний которых до двух данных точек, называемыхфокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через2а), причем эта величина больше расстояния между фокусами (его обозначают через2с).

Если фокусы эллипса размещаюся на оси Охсимметрично началу координат в точкахF₁(c, 0)иF₂ (-c, 0)(рис.1.7), то уравнение эллипса примет простейшую (каноническую) форму: (1.41)

где аиb– большая и малая полуоси эллипса, причема, b, ссвязаны соотношениема² = b² + с². Форма эллипса (мера сжатия) характеризуетсяэксцентриситетом(1.42).

Очевидно, что 0  е  1; е = 1 приb = 0и эллипс вырождается в отрезок длиной2а; е = 0 приb = a, когда эллипс вырождается в окружность радиусаа.

Расстояния произвольной точки М(х, у)эллипса от его фокусов называютсяфокальными радиусами – векторамиэтой точки, обозначаютсяr₁иr₂и могут быть вычислены по формуламr₁ = а – ех(1.43) (правый радиус – вектор) иr₁ = а + ех(1.43`) (левый радиус – вектор).

При е = 0 (а = b = r)уравнение примет видх² + у² = r²(1.44)

Это уравнение окружности – геометрического места точек равноудаленных от данной точки, называемой центром (в ней «сошлись» фокусы эллипса), с центром в начале координат. Уравнение окружности с центром в заданной точке С(а, b)примет вид(х – а)² + (у – b)² = r²(1.44`)

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемыхфокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через2а),

причем эта величина меньше расстояния между фокусами (ее обозначают через2с).

Если фокусы гиперболы расположены на оси Охсимметрично началу координат в точкахF₁(с, 0)иF₂(–с, 0), уравнение гиперболы примет каноническую форму

(1.46), причемb² = c² – a²(1.47).

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А₁(а, 0)иА₂(–а, 0)называютсявершинамигиперболы (рис.1.8). ОтрезкиА₁А₂ = 2а и В₁В₂ = 2bназываютдействительнойимнимойосями гиперболы. Прямые (1.48) - наклонные асимптоты гиперболы.

(Прямая называется наклонной асимптотой кривой, если расстояние между этой прямой и точкой М(х, у)кривой стремится к нулю при стремлениих к   (х   )).

Величину (1.49) называют эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, что1  е  ; приb = 0 (е = 1)гипербола вырождается в две полупрямые, лежащие на осиОх и разделенные промежутком(–а, а).

Фокальные радиусы – векторы определяются соотношениями:

Левая ветвь гиперболы		Правая ветвь гиперболы
r1 = – ex + a	Правый	r1 = ex – a	Правый	(1.50)
r2 = – ex – a	Левый	r2 = ex + a	Левый

При а = b (e = )(такая гипербола называетсяравнобочной) асимптоты гиперболы – биссектрисы координатных углов.

Две гиперболы и , имеющие одни и те же оси и асимптоты (мнимая ось одной совпадает с действительной осью другой) называютсопряженными.

Парабола.Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если фокус параболы в точке F(р/2, 0), а уравнение директрисых = –р / 2,то уравнение параболы примет вид у² = 2рх(1.51).

Эта парабола симметрична относительно оси Охи прир > 0 расположена как на рис. (1.9).х² = 2ру (1.51`) уравнение параболы, симметричной относительно осиОу. Фокальный радиус – вектор параболы (1.51) определяется соотношением:

r = x + (p / 2) (p > 0) (1.52).