Задачи на теплопроводность

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия носят название краевых условий. Краевые условия позволяют выделить из множества решений уравнения единственное, описывающее реальный физический процесс.

Краевая задача на уравнение теплопроводности ставится следующим образом: найти решение уравнения теплопроводности T(x,t), удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям.

Начальное условие определяет температуру среды в какой-то момент времени (этот момент времени можно принять за начало отсчета времени). Математически начальное условие записывается в виде:

T(x,0) = f(x), (7)

где f(x) - заданная функция координаты x.

Граничные условия определяют тепловой режим на границе среды. Примеры граничных условий:

а) если на границах среды поддерживается заданное распределение температуры (рис. 1), то

T(0,t) = T₁(t), T(l,t) = T₂(t), (8)

где T₁(t) и T₂(t) - заданные функции времени;

б) если на границах поддерживается заданный поток тепла, то

- ¶T/¶x½_x=0=j₁(t), -¶T/¶x½_x=l=j₂(t), (9)

где j₁(t) и j₂(t) - заданные функции времени.

Данные граничные условия носят название граничных условий 1-го и 2-го рода.

Внешняя теплопередача

Пусть окружающая среда имеет постоянную температуру Т₀, например, тело омывается потоком воды или воздуха постоянной температуры. Благодаря процессу теплообмена возникает тепловой поток через границу между телом и окружающей средой, обусловленный скачком температуры на этой границе.

Закон внешней теплопередачи утверждает: количество теплоты, проходящее а одну секунду через единичную площадку, перпендикулярную к направлению потока теплоты, пропорционально разности температур тела и окружающей среды на границе:

j_n= h(T-T₀),

где Т - температура тела на его границе, Т₀ - температура окружающей среды, h- коэффициент теплообмена.

Если на границе происходит теплообмен, то

k ¶T/¶x + h(T-T₀)½_x=0=0.(10)

Данное условие носит название граничного условия 3-го рода.

Теорема единственности

утверждает, что при заданных начальных и граничных условиях уравнение теплопроводности имеет единственное решение.

Стационарное распределение температуры в среде

Стационарными называются такие задачи, в которых функция распределения температуры не зависит от времени и является функцией только координаты. Частная производная ¶T/¶t = 0. В этом случае уравнение теплопроводности (6) принимает вид:

d²T(x)/dx²= 0, (11)

где вторая частная производная по координате x заменена на обычную вторую производную, т.к. функция распределения температуры не зависит от времени.

Требуется найти решение уравнения (11), если на границах среды поддерживаются постоянные температуры Т₁ и Т₂ (рис. 1). Граничные условия записываются так:

Т(0) = Т₁ , Т(l) = Т₂ . (12)

Общее решение дифференциального уравнения (11) имеет вид:

T(x) = C₁ x + C₂ ,

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные. Для их определения необходимо воспользоваться граничными условиями (12). Частное решение, удовлетворяющее этим условиям, выглядит так:

Т(x) = (T₂- T₁)/l + T₁.

Температура вдоль оси x меняется по линейному закону (рис. 1).

j T₂ твердое

тело Рис. 3

0 l x

внутренняя внешняя

поверхность поверхность

Рассмотрим случай, когда внешняя поверхность стенки толщиной l контактирует с массивным твердым телом, вследствие чего на внешней поверхности поддерживается постоянная температура. На внутренней поверхности плоской стенки задана плотность теплового потока j (рис. 3).

Уравнение теплопроводности имеет вид (11), а граничные условия записываются так:

- (dT/dx½_x=0) k = j, T(l) = T₂.

Общее решение, как и в предыдущем случае имеет вид:

T(x) = C₁ x + C₂ .

Производная dT/dx = C₁ и из первого условия получаем:

- C₁ k = j, C₁ = - j/k.

Второе условие, с учетом найденного значения C₁, дает:

C₂ = T₂ + (j/k) l.

Подставляя найденные выражения для C₁ и C₂ в общее решение, получаем:

T(x) = (j/k) ( l - x ) + T₂ .

Температурный перепад на стенке

T(0) - T(l) = (j/k) l.