Закон теплопроводности

Рассмотрим среду, заключенную между двумя параллельными стенками, имеющими различные температуры Т₁ и Т₂ (рис.1). Температура

Т

Т₁

Т₂

0 l x Рис. 1

среды меняется от точки к точке вдоль оси x. В этом случае имеет место поток теплоты вдоль оси x. Теплота самопроизвольно переходит в направлении от высшей температуры к низшей.

Плотностью потока называют вектор j, совпадающий по направлению с направлением распространения теплоты и численно равный количеству теплоты, проходящему в одну секунду через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения теплоты.

Из опыта следует, что плотность потока теплоты пропорциональна разности температур и обратно пропорциональна расстоянию, на котором происходит изменение температуры:

j = - k ¶T(x)/¶x.(1)

Здесь ¶T(x)/¶x есть частная производная функции температуры по координате x - градиент температуры, k- коэффициент пропорциональности, называемый теплопроводностью и зависящий от вида рассматриваемого газа и его физического состояния. Теплопроводность среды k численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры равном единице. Знак минус показывает, что теплота переходит в сторону убывания температуры.

Формула (1) носит название закона теплопроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рассмотрим поток теплоты в направлении оси x. Плотность потока j следует рассматривать как функцию координаты x и времени t : j(x,t), т.к. свойства среды и величины характеризующие тепловой поток могут меняться вдоль направления потока и во времени. Среда, в которой распространяется теплота, характеризуется калорическим уравнением состояния U=U(T), плотностью r(x) и коэффициентом теплопроводности k(x). Здесь U(T) - внутренняя энергия, заключенная в единице массы вещества, если эта масса нагрета до температуры Т.

j(x) j(x+dx) Рис. 2

x x+dx x

Вычислим поток теплоты через мысленно выделенный цилиндр с образующими параллельными оси x и длиной dx (рис. 2). Пусть S- площадь поперечного сечения цилиндра. Количество теплоты, поступающее в цилиндр за время dt через основание с координатой x, равно j(x)Sdt. Количество теплоты, уходящее из цилиндра за то же время, равно j(x+dx)Sdt. Так как через боковую поверхность цилиндра теплота не поступает, то полное количество теплоты, поступающее за время dt в цилиндр, равно

[ j(x) - j(x+dx) ] = -(¶j/¶x) S dx dt.(2)

Но эту же теплоту можно представить в виде:

M C_vdT, (3)

где C_v - удельная теплоемкость, M=r S dx - масса цилиндра.

Приравнивая выражения (2) и (3) и производя сокращения, получим:

r С_v(¶T/¶t) = -¶j/¶x.(4)

Подставим выражение (1) для плотности теплового потока j в формулу (4):

r С_v(¶T/¶t) =¶/¶x (k¶T/¶x) .(5)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности.

Если среда однородна, теплопроводность k - постоянная, то уравнение теплопроводности можно записать в виде:

¶T/¶t = а² ¶²Т/¶x², (6)

где а² = k / r С_v - коэффициент температуропрводности.

Уравнение теплопроводности представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка по координате x и первого порядка по времени t. Фунция Т(x,t) есть функция распределения температуры в среде - неизвестная функция двух переменных, которая находится решением уравнения (5) или (6).